Si $f(x) $ ser una función polinómica que satisfaga $f(x).f( \frac {1}{x})=f(x) +f( \frac {1}{x})$ y $f(4) =65$ y luego encontrar $f(6)$

Question

Problema:

Si $f(x) $ ser una función polinómica que satisfaga $f(x).f( \frac {1}{x})=f(x) +f( \frac {1}{x})$ y $f(4) =65$ y luego encontrar $f(6)$

Solución :

$f(x) f( \frac {1}{x})-f(x) =f( \frac {1}{x})$

$ \Rightarrow f(x) = \frac {f(1/x)}{f(1/x)-1}$ .....(i)

También $f(x).f( \frac {1}{x})=f(x) +f( \frac {1}{x})$

$ \Rightarrow f( \frac {1}{x})= \frac {f(x)}{f(x)-1}$ .......(ii)

Al multiplicar (i) y (ii), obtenemos

$f(x) .f( \frac {1}{x})= \frac {f(1/x).f(x)}{(f(1/x)-1) ((f)(x)-1)}$

$ \Rightarrow (f( \frac {1}{x}) -1)(f(x)-1)=1$

Por favor, sugiera cómo proceder aquí ya que $f(x)-1 ; \& f( \frac {1}{x}-1)$ son recíprocos entre sí Gracias

Answer 1

Deje que $f$ ser un polinomio entero con $f(x)f(1/x) = f(x) + f(1/x)$ . Hay cuatro soluciones, $f = 0$ , $f = 2$ y $f = 1 \pm x^n$ .

Claramente $f = 0$ es una solución.

Como en la pregunta, lo hemos hecho:

$$ (f(x) - 1)(f(1/x) - 1) = 1 $$

Deje que $n$ sea el grado de $f \neq 0$ . Multiplicando ambos lados de lo anterior por $x^n$ da:

$$ (f(x) - 1)(x^n f(1/x) - x^n) = x^n $$

Ahora ambos términos son ahora polinomios en $ \mathbb Z [x]$ con el grado $n$ . Por lo tanto, mediante la factorización primaria única uno de los factores de la izquierda debe ser $x^n$ (hasta unidades), y el otro factor es alguna unidad. Esto da dos posibilidades:

$$ f(x) - 1 = \pm x^n $$ $$ f(x) = 1 \pm x^n $$

La otra posibilidad:

$$ x^n f(1/x) - x^n = \pm x^n$$ $$ f(1/x) = 0, 2 \implies f(x) = 2 \text { since $ f \neq 0 $}$$

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Aplicando esto a su pregunta, tenemos dos posibilidades para $f(x)$ . Cualquiera de los dos:

$$ 4^n + 1 = 65 $$ $$ 4^n - 1 = 65 $$

Desde $n$ tiene que ser un número natural, la única solución es $n=3$ dando el polinomio $f(x) = x^3 + 1 $ .

Answer 2

Las ecuaciones se satisfacen con $f(x) = x^3 + 1$ . Para: $$ f(x) f \left ( \frac {1}{x} \right ) = (x^3 + 1) \left ( \frac {1}{x^3} + 1 \right ) = 1 + x^3 + \frac {1}{x^3} + 1 = f(x) + f \left ( \frac {1}{x} \right ) $$ y $f(4) = 4^3 + 1 = 65$ . Así que $f(6) = 6^3 + 1 = 217$ .

Answer 3

Deje que $f(x)= \sum_ {k=0}^na_kx^k,f \neq0 $ donde $n$ es el grado de $f$ es decir. $a_n \neq0 $ . Si $n=0$ entonces su ecuación es equivalente a $a_0^2=2a_0$ lo que implica $a_0=2$ . Así que asumamos que $n \geq1 $ . Multiplica ambos lados de tu ecuación por $x^n$ y usar la fórmula del producto Cauchy para sumas finitas. Esto da lugar después de algunas simplificaciones \begin {alineado*} \sum_ {j=0}^{n-k}a_ja_{j+k}&=a_k, \qquad\forall k \in\ {1, \ldots ,n\}, \\ \sum_ {j=0}^na_j^2&=2a_0. \end {alineado*} Para $k=n$ tenemos $a_0a_n=a_n$ y desde que $a_n \neq0 $ tenemos $a_0=1$ . Para $k=n-1$ tenemos $a_0a_{n-1}+a_1a_n=a_{n-1}$ que es equivalente a $a_1a_n=0$ y por lo tanto $a_1=0$ . Para $k=n-2$ obtenemos $a_0a_{n-2}+a_1a_{n-1}+a_2a_n=a_{n-2}$ Así que $a_2a_n=0$ y finalmente $a_2=0$ . Continuar este proceso da $a_k=0$ para cada uno $k \in\ {1, \ldots ,n-1\}$ . Desde la última igualdad tenemos entonces que $1+a_n^2=2$ lo que implica $a_n= \pm1 $ . Por consiguiente, $f$ es de la forma $f(x)=1 \pm x^n$ .

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Usando $f(4)=65$ concluimos $f(x)=x^3+1$ (ver la respuesta de George V. Williams).

Answer 4

Una fácil inspección muestra que $f$ no es constante. Deje que $f(x)=x^ng(x)$ con $n \geq0 $ y $g(0) \ne0 $ . Luego $f(x)f(1/x)=g(x)g(1/x)$ y $f(x)+f(1/x)=x^ng(x)+ \frac {g(1/x)}{x^n}$ Por lo tanto $x^ng(x)g(1/x)=x^{2n}g(x)+g(1/x)$ . Deje que $m$ sea el grado de $g$ y considerar el polinomio recíproco de $g$ es decir $x^mg(1/x)$ que también tiene un título $m$ . Tenemos

$$x^ng(x)x^mg(1/x)=x^{2n+m}g(x)+x^mg(1/x)\,.$$

Tengan en cuenta que el LHS tiene un grado $n+2m$ y los sumandos de la RHS tienen grados $2n+2m$ y $m$ respectivamente. Ahora $2n+2m=m$ implica $n=0$ y $2n+2m>m$ implica que el grado de la RHS es igual a $2n+2m$ así que $2n+2m=n+2m$ y otra vez $n=0$ . Así $f(x)$ tiene la forma $f(x)=a_0+a_1x+ \cdots +a_mx^m$ con $m>0$ y $a_0a_m \ne0 $ y la igualdad anterior se convierte en $f(x)h(x)=x^mf(x)+h(x)\,,$ donde $h(x)=x^mf(1/x)=a_m+a_{m-1}x+ \cdots +a_0x^m$ . Podemos reescribir esta igualdad como

$$ \bigl (f(x)-1 \bigr )h(x)=x^mf(x)\,.$$

Desde $0$ no es una raíz de $h(x)$ entonces $x^m$ divide $f(x)-1$ y como ambos $x^m$ y $f(x)-1$ tener un título $m$ se deduce que $f(x)-1=cx^m$ para algunos $c \ne0 $ . Reemplazar de nuevo rinde $c(x^m+c)=cx^m+1$ lo que implica $c= \pm1 $ . Finalmente $64=f(4)-1=4^mc$ que a su vez obliga a $c=1$ y $m=3$ . Concluimos entonces que $f(x)=x^3+1$ .