Modelos vs. Estructuras

Question

¿Por qué se utilizan los términos "estructura" y "modelo" en la lógica matemática/teoría de modelos? ¿Son simplemente resabios de diferentes temas o hay una razón de principio para tener ambos?

Para aclarar, no me confunde ninguna definición o uso real, sólo el motivo por el que se llegaron a utilizar ambos términos; al fin y al cabo, podría sobrevivir perfectamente utilizando exclusivamente uno u otro con poca posibilidad de confusión.

Answer 1

Los modelos son estructuras y las estructuras son modelos. Pero cuando decimos "modelo" queremos decir que hay una teoría particular que se mantiene en la estructura, y cuando decimos "estructura" nos interesa principalmente una interpretación arbitraria del lenguaje.

Answer 2

A estructura es un conjunto con algunos símbolos interpretables (constantes, relaciones y funciones) dentro de un lenguaje fijo. No se puede pedir más a una estructura.

Sin embargo...

A modelo (de una teoría) es una estructura que satisface los axiomas de la teoría. Tiene más "sentido estructural"...

Quizá un ejemplo aclare más las cosas: Consideremos la teoría de los grupos. $\mathbb Z$ es una estructura en $\mathcal{L}=\{e, \cdot, ^{-1}\}$ pero no un modelo ya que no es un grupo. Por otro lado, $\mathbb R- \{0\}$ es un $\mathcal{L}$ -estructurar y además un modelo, ya que se trata de un grupo.

Esto es lo que más o menos sé dentro de una visión teórica del modelo. Alguien más puede dar una respuesta también considerando una perspectiva de álgebra universal.

Answer 3

El término "estructura" sustituye al anterior de "sistema", utilizado por varios autores (Weber, Hilbert, Dedekind) y que significaba algo así como "un conjunto con características añadidas". El cambio de "sistema" a "estructura" se produjo en los años 50 y parece deberse a Abraham Robinson y Bourbaki. Por otro lado, el término "modelo" aparece en los primeros trabajos de Tarski (a mediados de los años 30) y parece haber surgido por separado del término "sistema". El uso de ambos en la teoría moderna de modelos es, hasta donde yo sé, accidental, y sólo los distinguen pequeñas diferencias intensionales (como se ha explicado en otras respuestas). No hay ninguna razón de principio para tener ambos.

Answer 4

Un enfoque interesante de este problema es el siguiente. Estructuras contienen el dominio del discurso y las interpretaciones de los símbolos de una lengua determinada. Modelos añadir una función de valoración (assigment) que asigne variables a los elementos del dominio. Así, una estructura puede dar lugar a infinitos modelos. Como a menudo no nos interesan los modelos como tales (al fin y al cabo, no son más que diversos reordenamientos de los valores dados a las variables), algunos autores no se molestan en distinguir los modelos en este sentido y hablan sólo de asignaciones/valoraciones de variables. Así, el término "modelo" se reutiliza para referirse a la "estructura" (por razones históricas tenemos modelo teoría, no estructura teoría, ¡así que hay una razón para mantener el nombre!). Así pues, la literatura contiene todo tipo de enfoques: modelos distintos de las estructuras; modelos que se consideran lo mismo que las estructuras; estructuras que desaparecen por completo y sólo se utiliza la noción de modelo en su lugar. Esto me confundía mucho en mis comienzos, pero hay que recordar que la lógica matemática es un tema relativamente joven y que somos testigos de su crecimiento y cambio.

Answer 5

No hay razón por introducir dos términos diferentes. Al parecer, alguien introdujo un término, y otro introdujo un término diferente, ya sea porque no le gustaba el término del primer tipo, o no había oído hablar de él. O tal vez fue el mismo tipo y cambió de opinión, o se olvidó de cómo lo llamó antes. Yo qué sé, no soy historiador (ni matemático).

La cuestión es que en matemáticas no hay ningún organismo oficial con poder para decidir cuál debe ser la terminología. Esto es diferente de otras ciencias, como la astronomía, donde alguna organización se atribuye el poder de decidir qué es un planeta. En matemáticas, cada escritor va a su aire, y prevalece la anarquía. (Si cree que "modelo" frente a "estructura" es malo, mire la terminología de la teoría de grafos). Al final, después de unos cuantos siglos, se llega a un consenso. Obviamente, la teoría de modelos (y la teoría de grafos) son demasiado jóvenes para haber llegado a ese punto.