Permita que$E$ sea una curva elíptica que tenga CM en un campo cuadrático imaginario$K$ y permita que$\tau$ denote el elemento de$K$ para el cual$End(E)=\mathbb{Z}[\tau]$. ¿Cómo se puede probar que la acción de$\tau$ sobre$E(\overline{\mathbb{Q}})$ viene dada por$(x,y) \to (\phi(x,y),\psi(x,y))$, donde$\phi(x,y), \psi(x,y) \in K(X,Y)$ son funciones racionales definidas sobre$K$? Estoy interesado en la prueba del hecho de que las funciones racionales están definidas sobre$K$, en lugar de que la isogenación esté dada por funciones racionales. Además, ¿se puede decir algo más preciso que eso sobre$\phi(x,y), \psi(x,y)$?
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COMENTARIO.- Lo que me hizo dudar un poco era su escritura "....que la acción de la $\tau$ $E(\overline{\mathbb{Q}})$ está dado por $(x,y) \to (\phi(x,y),\psi(x,y))$".
Ahora sé que su $(x,y)$ es un elemento de $E$ y por lo tanto tu pregunta es casi trivial desde $E$ es un grupo abelian (cuya suma es racional) y la operación de que se trate es la del propio grupo, por lo que no puede dar resultados fuera del grupo. Si pones la ecuación de $E$ en su forma homogénea, toda la operación en $E$ da un elemento de $E$ cuyos tres coordenadas son polinomios de modo que el regreso a la afinne forma que tienen funciones racionales en $K(X,Y)$ (cuando se divide por $Z$; véase el ejemplo dado por $x^3+y^3=Az^3$ ) de los coeficientes en el campo de $K$. Sugiero a usted muy cordialmente a borrar tu post por que no es relevante (no voy a ser el uno para poner un voto para "cerrar" porque no me gusta objeto de los carteles). Saludos. $$*******$$
Hola Holz. Trato de responder a tu comentario antes de eliminar la mía. El anillo de $ \ End (E)$ es isomorphe a $\mathbb Z$ (al $E$ no es con CM) o un sub-anillo del anillo de enteros de un imaginario cuadrática campo (al $E$ es con CM).
Muy brevemente, la endomorphisms del torus $\mathbb C/L$ (el plano del modulo de la celosía L dar la curva elíptica $E$) están determinados por los números de $\alpha$ tal que $\alpha L\subseteq L$ y sucede que a veces no son racionales $\alpha$ (necesariamente imaginaria cuadrática) cumplir esta condición.
En el caso de $x^3+y^3=Az^3$, el anillo de enteros de $\mathbb Q(\sqrt{-3}$), debido a $-3\equiv1\pmod4$, es $$A=\dfrac 12(a+b\sqrt{-3})\text { with } a,b\in\mathbb Z$$ so $\ Final (E)$ shoul be a subring of $$. In particular, for $(a,b)=(0,2)$, you have that $[\sqrt{-3}]$ is an endomorfism of $E$ and every allowed operation with it or in conjunction with himself or others give necessarily rational function over $K=\mathbb Q(\sqrt{-3})$ by the rational definition of the group law in $E$.
