¿Cómo determinar si un punto se encuentra en el mismo lado del plano que el origen?

Question

Estoy desconcertado por este problema: determine si el punto$A = (2, -1, 1)$ se encuentra en el mismo lado del plano$5x-3y+z-18=0$ que tiene el punto de origen$O$ = (0, 0, 0). ¿Cómo abordar esto?

Answer 1

Método básico

Simplemente enchufe en ambos puntos de $A=(2,-1,1)$ $O=(0,0,0)$ a la expresión: $$ 5x-3y+z-18 $$ y comparar los signos. Un punto para el mismo lado del plano como la dirección del vector normal $\vec n=(5,-3,1)$ dará como resultado un valor positivo de la expresión de arriba, mientras que un punto en el plano de los resultados en el valor cero, y un punto opuesto del vector normal de los rendimientos de un valor negativo. $$ 5\cdot 2-3\cdot(-1)+1-18=10+3+1-18=-4 $$ y para $(0,0,0)$ todos los términos, sino $-18$ desaparecen, por lo que, de hecho, que ambos se encuentran opuesto $\vec n$. En el negativo de la mitad-el espacio definido por el plano y el vector normal.

---

De fondo

La razón de esto es que el plano de ecuación ha basado en el producto escalar: $$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 $$ donde tenemos el vector normal $$ \vec n= \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} $$ y el vector de un punto en el plano $P=(x_0,y_0,z_0)$ a un punto de variable $Q=(x,y,z)$: $$ \overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix} x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{pmatrix} $$ Teniendo en cuenta el conocido resultado $\vec v\cdot\vec w=|\vec v||\vec w|\cos(\varphi)$ por dos vectores $\vec v,\vec w$ y el ángulo de $\varphi$ entre ellos, tenemos:

• $\vec v\perp\vec w\iff \vec v\cdot\vec w=0$
• $\varphi=\angle(\vec v,\vec w)<90^\circ\iff \vec v\cdot\vec w>0$ (positiva producto escalar implica vector normal en la misma dirección que el vector de $P$ en avión a $Q$)
• $\varphi=\angle(\vec v,\vec w)>90^\circ\iff \vec v\cdot\vec w<0$ (negativo producto escalar implica vector normal en la dirección opuesta como vector de $P$ en avión a $Q$)

Answer 2

La línea$(x,y,z)=(2,-1,1)t$ pasa por el origen y su punto. Considere los valores de la forma$$A=5(2t)-3(-t)+t-18.$$ Solving for the value of $ t$ that makes $ A$ zero tells us the value of $ t$ when the line passes through the plane. If that value of $ t$ is between $ 0$ and $ 1$, the line passes through the plane after leaving the origin, but before arriving at your point, so the two points are on different sides. If $ t 1 $, luego la línea intersecta ambos puntos antes o después de intersectar el avión, por lo que están en el mismo lado.

Answer 3

Dejar $F(x,y,z)=5x-3y+z-18$. El avión está definido por$F(x,y,z)=0$. Luego marque $$ F (2, -1,1) = 10 +3 +1-18 = -4

Answer 4

Alternativamente, considere el plano como la función$z(x,y) = -5x + 3y + 18$. Entonces,$z(2,-1) = 5$, entonces$A$ está debajo del avión. $z(0,0) = 18$, por lo que$O$ también está debajo del plano.