Evaluar $ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac {(\cos(x))^{\sin(x)} - \sqrt{1 - x^3}}{x^6}$

Question

Evaluar
$$ \displaystyle \lim_{x\to 0}\Bigg( \frac {(\cos(x))^{\sin(x)} - \sqrt{1 - x^3}}{x^6}\Bigg) $$

Traté de usar la regla de L'Hospital, pero lo tengo muy complicado. Por otra parte también he tratado de analizar a partir de los gráficos, pero me estaba poniendo el límite de $= 0$ mediante la observación. Sin embargo, la respuesta dada en mi libro es $\frac{1}{4}$. ¿Hay algún método para hacerlo sin series de Taylor y de L' Hospital de la regla (como el uso de límites especiales). Estamos dado que el límite existe. Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias!

Answer 1

Vamos, $$\text{L}= \displaystyle \lim_{x\to 0}\Bigg( \frac {(\cos(x))^{\sin(x)} - \sqrt{1 - x^3}}{x^6}\Bigg) $$

$\implies \text{L}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(x) \times \ln(\cos(x))}-e^\frac {\ln(1-x^3)}{2}}{x^6}$

$\implies \text{L}= \displaystyle \lim_{x \to 0}e^\frac {\ln(1-x^3)}{2} \times \left(\dfrac{e^{\sin(x) \times \ln(\cos(x))-\frac {\ln(1-x^3)}{2}}-1}{x^6}\right)$

$\implies \text{L}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(x) \times \ln(\cos(x))-\frac {\ln(1-x^3)}{2}}-1}{x^6}$

$\implies \text{L}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(x) \times \ln(\cos(x))-\frac {\ln(1-x^3)}{2}}{x^6}$ $\left[\text{Using} \displaystyle\lim_{x\to 0}\left( \dfrac{e^x - 1}{x} = 1\right)\right]$

Ahora, dado que el límite existe, podemos inferir,

$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.} = \text{L}$

$\implies 2\text{L} = \text{L.H.L.} + \text{R.H.L.}$

$=\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{\sin(x) \times \ln(\cos(x))-\frac {\ln(1-x^3)}{2}}{x^6} + \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin(x) \times \ln(\cos(x))-\frac {\ln(1-x^3)}{2}}{x^6}$

=$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(-x) \times \ln(\cos(-x))-\frac {\ln(1+x^3)}{2}}{x^6} + \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x) \times \ln(\cos(x))-\frac {\ln(1-x^3)}{2}}{x^6}$

$\left[\text{Using} \displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 0}f(0-x)\right] $

=$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\frac{-\ln(1-x^6)}{2}}{x^6}$

=$\dfrac{-(-x^6)}{2x^6}$ $\left[\text{Using} \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\right]$

=$\dfrac{1}{2}$

$\implies \boxed{\text{L}=\dfrac{1}{4}}$

Answer 2

Si estás dado que el límite existe (como el OP estipula), entonces usted puede tener todo tipo de diversión computación cuál es el límite. Para comenzar con, usted puede deshacerse de la raíz cuadrada símbolo multiplicando arriba y abajo por la $(\cos x)^{\sin x}+\sqrt{1-x^3}$, que tiene límite de $2$$x\to0$, lo que da

$$L=\lim_{x\to0}{(\cos x)^{2\sin x}-(1-x^3)\over2x^6}$$

Ahora uso el hecho de que $\cos x$ es e incluso la función y $\sin x$ es una extraña función para obtener

$$\lim_{x\to0}{(\cos x)^{2\sin x}-(1-x^3)\over2x^6}=\lim_{x\to0}{(\cos x)^{-2\sin x}-(1+x^3)\over2x^6}$$

lo que nos permite concluir que

$$2L=\lim_{x\to0}{(\cos x)^{2\sin x}-2+(\cos x)^{-2\sin x}\over2x^6}={1\over2}\lim_{x\to0}\left({(\cos x)^{(\sin x)}-(\cos x)^{-(\sin x)}\over x^3}\right)^2$$

Así es para mostrar que

$$\lim_{x\to0}{(\cos x)^{(\sin x)}-(\cos x)^{-(\sin x)}\over x^3}=\lim_{x\to0}{(\cos x)^{2\sin x}-1\over x^3}=\pm1$$

(Nota, la simplificación de los límites en la última línea utiliza el límite obvio $\lim_{x\to0}(\cos x)^{\sin x}=1^0=1$.) Esto es bastante fácil de hacer en un par de L'Hôpital pasos, con las simplificaciones, a lo largo de la manera que en última instancia, reducir las cosas a $\lim_{x\to0}{\sin x\over x}=1$:

$$\begin{align} \lim_{x\to0}{(\cos x)^{2\sin x}-1\over x^3}&=\lim_{x\to0}{2\left(\cos x\ln(\cos x)-{\sin^2x\over\cos x}\right)(\cos x)^{2\sin x}\over 3x^2}\\ &={2\over3}\left(\lim_{x\to0}{\ln(\cos x)\over x^2}-\lim_{x\to0}{\sin^2x\over x^2}\right)\\ &={2\over3}\left(\lim_{x\to0}{{-\sin x\over\cos x}\over2x}-1\right)\\ &={2\over3}\left(-{1\over2}-1\right)=-1 \end{align}$$

El paso clave en el que la hipótesis de que el límite existe, entró en juego fue cuando las dos versiones de el límite, con $x$ $-x$ fueron combinados en la expresión de $2L$, eliminando la $x^3$ en el numerador. Formalmente, que el término de la deserción para cualquier extraño poder de $x$ (o, para el caso, cualquier extraño función que sea), pero es evidente que el límite no existe sólo para cualquier función. Así que si la asignación se han de demostrar que el límite existe , así como para evaluar, este enfoque no hacer el trabajo.

Añadido posterior: finalmente leí MathGod la respuesta cuidadosamente, y ver que nuestros planteamientos son bastante similares. Ambos hacemos uso del formalismo $(\lim_{x\to a}f(x))(\lim_{x\to a}g(x))=\lim_{x\to a}(f(x)g(x))$ a simplificar las distintas expresiones, y, lo que es más importante, que tanto el uso de la simetría entre las $x$ $-x$ a deshacerse de una problemática función odd, dejando una expresión para $2L$ que es (relativamente) fácil de evaluar. La principal diferencia es que MathGod se deshace de la función trigonométrica, dejando algo que puede ser tratada directamente, mientras que yo deshacerse de un $x^3$, dejando algo que puede ser reconocido como un cuadrado. En general, me gusta MathGod el enfoque de la mejor (ahora que lo entiendo), debido a que sus simplificaciones llegar a la final del límite más rápidamente, sin necesidad de L'Hôpital (aparte de su uso implícito en los límites especiales para$(e^x-1)/x$$(\log(1+x))/x$).

Answer 3

Bien, vamos a ir a por la serie de Taylor. Vamos a necesitar términos a a $O(x^6)$.

Vamos a empezar por redactar $\cos x^{\sin x}$$\left(1 + \varepsilon\right)^{\sin x}$,$\varepsilon \to 0$$x \to 0$. El orden más bajo plazo en $\sin x$ es x, mientras que la más baja en $\varepsilon$$x^2$. Para obtener el suficiente detalle, vamos a por lo tanto necesitan los dos primeros términos de la general de la fórmula binominal:

$$(1 + \varepsilon)^{\sin x} = 1 + \varepsilon\sin x + \frac{1}{2!}\varepsilon^2\sin x (\sin x -1) + O(x^7).$$

Para el orden necesario en $x$, podemos escribir $\varepsilon = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$. A continuación se da la inserción de

$$\begin{align} (1 + \varepsilon)^{\sin x} &= 1 + \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!}\right)\left(x - \frac{x^3}{3!}\right)\\ &\quad + \frac{1}{2} \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!}\right)^2\left(x - \frac{x^3}{3!}\right)\left(x - \frac{x^3}{3!} -1\right) + O(x^7)\\ &= 1 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{12} + \frac{x^5}{24} - \frac{x^5}{8} + \frac{x^6}{8} + O(x^7)\\ &= 1 -\frac{x^3}{2} + \frac{x^6}{8} + O(x^7) \end{align} $$

Y para la raíz cuadrada de la parte del numerador tenemos $$ \sqrt{1 - x^3} = 1 - \frac{x^3}{2} -\frac{x^6}{8} + O(x^9). $$

La combinación da un numerador de $\frac{1}{4}x^6 + O(x^7)$, el cual se divide por el denominador para dar a $\frac{1}{4} + O(x)$, y para el límite de $x$ tiende a cero es, de hecho,$\frac{1}{4}$.

Answer 4

Es difícil resolver el problema sin el uso de series de Taylor o de L'Hospital de la Regla. Soluciones elegantes siempre en el supuesto de que el límite existe (esto también es mencionado por OP en su post). He encontrado otra solución que hace uso mínimo de L'Hospital de la Regla. \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{(\cos x)^{\sin x} - \sqrt{1 - x^{3}}}{x^{6}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{(\cos x)^{\sin x} - \sqrt{1 - x^{3}}}{x^{6}}\cdot\frac{(\cos x)^{\sin x} + \sqrt{1 - x^{3}}}{(\cos x)^{\sin x} + \sqrt{1 - x^{3}}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{(\cos x)^{2\sin x} - (1 - x^{3})}{x^{6}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\exp(2\sin x\log \cos x) - \exp(\log(1 - x^{3}))}{x^{6}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\exp(\log(1 - x^{3}))\cdot\frac{\exp(2\sin x\log \cos x - \log(1 - x^{3})) - 1}{x^{6}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\exp(2\sin x\log \cos x - \log(1 - x^{3})) - 1}{2\sin x\log \cos x - \log(1 - x^{3})}\cdot\frac{2\sin x\log \cos x - \log(1 - x^{3})}{x^{6}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}1\cdot\frac{2\sin x\log \cos x - \log(1 - x^{3})}{x^{6}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\left(\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{6}} - \lim_{x \to 0}\frac{x^{3} + \log(1 - x^{3})}{x^{6}}\right)\notag\\ \end{align} Tenga en cuenta que el primer límite anterior es $0$ a partir de esta pregunta. Por lo tanto, tenemos \begin{align} L &= -\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{x^{3} + \log(1 - x^{3})}{x^{6}}\notag\\ &= -\frac{1}{2}\lim_{t \to 0}\frac{t + \log(1 - t)}{t^{2}}\text{ (putting } t = x^{3})\notag\\ &= -\frac{1}{2}\lim_{t \to 0}\dfrac{1 -\dfrac{1}{1 - t}}{2t}\text{ (via LHR)}\notag\\ &= \frac{1}{4}\notag \end{align}