encontrar el radio de convergencia de una secuencia

Question

podría usted por favor mirar y comprobar si lo que hice es correcto? estoy solicitada para encontrar el radio de convergencia de esas dos secuencias(sumas):

1)$\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{n!}{\left(2n\right)!}x^n$

2)$\sum _{n=2}^{\infty }\:\frac{\left(1-x\right)^{5n}}{nln\left(n\right)\cdot 5^n}$

lo que yo hice:

1)$\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{n!}{\left(2n\right)!}x^n$, hice la prueba de razón de:$ \lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\frac{\left(n+1\right)!x^{\left(n+1\right)}}{\left(2\left(n+1\right)\right)!}}{\frac{n!x^n}{\left(2n\right)!}}\right|\right) $, para obtener ese $\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{x}{2\left(2n+1\right)}\right|\right)$, llevó a $|\frac{x}{2}|$, $\left|\frac{x}{2}\right|\cdot \lim \:_{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{1}{2n+1}\right|\right)$, así que básicamente $\left|\frac{x}{2}\right|\cdot \lim \:_{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{1}{2n+1}\right|\right)%$, lo que significa que $x=0$. puesto que x=0, significa que converge para todo x? ($(-\infty,\infty)$)

2)rearrenged, $(\sum _{n=2}^{\infty }\left(1-x\right)^{5n})(\sum _{n=2}^{\infty }\:\frac{1}{nln\left(n\right)\cdot 5^n})$, ahora parece que la raíz de la prueba es más fácil con la raíz de la prueba:$\lim _{n\to \infty }\left(\sqrt[n]{\frac{1}{nln\left(n\right)\cdot \:5^n}}\right)$ = $\lim _{n\to \infty }\left(\frac{1}{nln\left(n\right)\cdot \:5^n}\right)^{\frac{1}{n}}$ =$\frac{1}{1*1*1*5}$=$\frac{1}{5}$, y la segunda secuencia es: $\sum _{n=2}^{\infty \:}\left(1-x\right)^{5n}$, el uso de la raíz prueba de nuevo: $\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\left(\left(1-x\right)^{5n}\right)^{\frac{1}{n}}\right|\right)$ = $\left|\left(1-x\right)^5\right|\cdot \lim \:_{n\to \infty \:}\left(\left|1\right|\right)$ . ahora comprobación $\left|\left(1-x\right)^5\right|<1$, lo que le da el intervalo (0,2). entonces, ¿cuál es el intervalo de convergencia en este caso?

lo que hice es correcto? si hice algún error, por favor me corrija para que yo pueda aprender y mejorar. muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

De hecho, es una buena idea utilizar el "d'Alembert prueba de razón". Para el primero, uno tiene $$ \left|\frac{\frac{\left(n+1\right)!x^{\left(n+1\right)}}{\left(2\left(n+1\right)\right)!}}{\frac{n!x^n}{\left(2n\right)!}}\right|=\frac{|x|.(n+1)}{(2n+1)(2n+2)} $$ que tiende a $0$ todos los $x$, por lo que el radio es infinito.

Para el segundo, no se puede reorganizar como usted y la proporción es de $$ \Big|\frac{(1-x)^5.5.(n+1)ln(n+1)}{(n)ln(n)}\Big| $$ que tiende a $5|(1-x)|^5$, se puede entonces deducir el radio ? (se trata de una serie de "alrededor de $1$" sin embargo).

Answer 2

En tu primera serie mencionaste "como x = 0, ¿significa que converge para todo x? In (-∞, ∞)" Deberías reformular tu oración como "$$\left|\frac{x}{2}\right|\cdot \lim \:_{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{1}{2n+1}\right|\right)=0 $ $ for every x, the series converges for $% x \ in (- \ infty, \ infty) $

Para su segunda serie, ha dividido una serie en producto de dos series, lo cual no está permitido. Sin embargo, ha comenzado con el paso correcto de la prueba de raíz.