Raíces cuadradas de matrices integrales

Question

Definir $n\times n$ matrices $L , M$ como sigue: $\,$ L$_{ij}$= $1$ si $\,$i + j $\geq$n + 1 y es cero en caso contrario; $\,$ M$_{ij}= \min(i,j)$$1 \leq i , j \leq n$ . Es sencillo comprobar que $M = L^2$ . Por ejemplo, cuando se $n=3$ hemos

$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 2 & 2\\1 & 2 & 3\\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}^2$ .

[Comentarios: $\det(M) = 1$ ; $M$ es positiva definida, sino $L$ no ; los autovalores de a $M$ son distintos ( para ver esto, es más fácil trabajar con $M^{-1}$ que es tridiagonal ). ]

Teoría General, a continuación, predice que $L$ puede ser escrito como un polinomio en $M$. A priori, este polinomio se podría esperar que tienen números algebraicos como coeficientes, pero los ejemplos a continuación sugieren que la situación podría ser mejor que eso. En primer lugar, al $n=2$ encontramos por la inspección que el $L = M - I.$ el Próximo, para $n=3$, cálculo que muestra que $L = M^2 - 5M + 2I$. Y, sin embargo, de nuevo por $n=4$, se encontrar $L = 2M^3 - 19M^2 + 21M - 5I.$

En cada caso (por ahora) el polinomio que resultó tener coeficientes enteros.

Preguntas: (1) Es siempre verdadera, para arbitrario $n$, $L$ se puede expresar como un polinomio en $M$ con coeficientes enteros?

(2) es de suponer que, de matrices como $M$ por encima del cual tiene una parte integral de la raíz cuadrada son la excepción más que la regla. Es fácil demostrar que casi todos ( en anysuitable sentido) de matrices en $\text{SL}(n,Z)$ no poseen una raíz cuadrada en $\text{GL}(n,Z)$ siempre $n \geq 2$ ?

Answer 1

Si $L$ $M$ $n \times n$ matrices, $g(M) = L$ polinómicas $g(z) = c_0 + \ldots + c_{n-1} z^{n-1}$ se traduce en el conjunto de ecuaciones lineales $\sum_{k=0}^{n-1} c_k (M^k)_{ij} = L_{ij}$$i,j = 1\ldots n$. Si $L$ $M$ han racional de las entradas y las soluciones existen, racional, existen soluciones. La única sorpresa es que las soluciones son números enteros.

Si $L$ tiene un mínimo de polinomio $f(\lambda)$ (en el caso de estos parecen ser siempre el polinomio característico), a continuación, $g(L^2) = L$ si y sólo si $f(\lambda)$ divide $g(\lambda^2) - \lambda$. Si $f$ tiene el grado $n$$g(\lambda) = \sum_{j=0}^{n-1} c_j \lambda^j$, tomamos $a_{kj}$, de modo que $\lambda^{2k} \equiv \sum_{j=0}^{n-1} a_{kj} \lambda^j \mod f(\lambda)$. A continuación, $c_j$ se obtienen mediante la resolución de $A c = (0,1,0,\ldots,0)^T$ donde $A$ es la matriz de $a_{kj}$, $k,j = 0 \ldots n-1$. En tu caso parece que $A$ siempre ha determinante $\pm 1$, lo que hará $c$ que han entero entradas. He comprobado que el factor determinante es$\pm 1$$n$$200$. Que no parece ser el caso de "la mayoría" de las matrices en $SL(n,\mathbb Z)$, y los polinomios $g$ en los casos tienden a tener no-entero entradas.

El polinomio característico $f_n(\lambda)$ $M$ parece satisfacer una recurrencia: $f_{n+4}(\lambda) + (1 - 2 \lambda^2) f_{n+2}(\lambda) + \lambda^4 f_n(\lambda) = 0$. No estoy seguro de si esto le ayuda.