Suma doble exponencial (¿tal vez se telescopia?)

Question

¿Alguien sabe cómo calcular el valor de la suma

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{x^{2^n}+1}=\text{?}$$

para cualquier valores de $x$ ¿para qué converge? Sé cómo evaluar algunos similar sumas, como $$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{x^{2^n}+1}=\frac{1}{x-1}$$ y $$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{-n}}{x^{2^{-n}}+1}=\frac{2}{1-x^2}+\frac{1}{\ln(x)}$$ Ambas son telescópicas. ¿Hay alguna manera de hacer que la primera suma sea telescópica (o calcularla por otros métodos)? Curiosamente, la razón por la que quiero calcularla es porque está relacionada con la función generadora de la secuencia de "suma de dígitos" de base 2: $$\sum_{n=0}^\infty \frac{s_2(n)}{x^n}=\frac{x}{x-1}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{x^{2^n}+1}$$

Answer 1

Suponiendo que $x>1$ , $$ \frac{1}{1+x^{2^n}} = x^{-2^n}-x^{-2\cdot 2^n}+x^{-3\cdot 2^n}-\ldots $$ Cada $m\in\mathbb{N}^*$ puede escribirse de forma única como $(2k+1)2^{h}$ Por lo tanto, sumando ambos lados de la línea anterior en $n\geq 0$ obtenemos $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{1+x^{2^n}} = \sum_{m\geq 1}\frac{1-\nu_2(m)}{x^m}=\sum_{m=2k+1}\frac{1}{x^m}+\sum_{m=4k+1}\frac{0}{x^m}+\sum_{m=8k+4}\frac{-1}{x^m}+\ldots$$ o $$ \frac{x}{x^2-1}-\frac{x^4}{x^8-1}-\frac{2x^8}{x^{16}-1}-\frac{3x^{16}}{x^{32}-1}-\ldots $$ donde el residuo en $x=1$ es igual a $$ \frac{1}{2}-\sum_{u\geq 1}\frac{u}{2^{u+2}}=0 $$ como debería. No estoy seguro de que esto pueda convertirse en algo con una forma cerrada "agradable".