¿Cuándo una red es una red de conjuntos abiertos de algún espacio topológico?

Question

Cuando una red $(L,\leqslant)$ es un entramado de conjuntos abiertos (o cerrados) de algún espacio topológico $(X,\tau)$ ? ¿Qué condiciones deben cumplirse? Podemos suponer que $X$ es $T_1$ .

Answer 1

Una red $L$ es isomorfo a la red de conjuntos abiertos de un espacio topológico si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. $L$ es completo: todo subconjunto $S\subseteq L$ tiene un límite superior mínimo.

2. $L$ tiene suficientes elementos primos (elementos $p\in L\setminus\{1\}$ tal que $a\wedge b\leq p$ implica $a\leq p$ o $b\leq p$ ): es decir, si $a,b\in L$ y $a\not\leq b$ entonces existe un elemento primo $p\in L$ tal que $b\leq p$ y $a\not\leq p$ .

Una red de este tipo se denomina marco espacial . En términos más generales, un marco es una red completa que también cumple la ley distributiva infinita $a\wedge\bigvee S=\bigvee\{a\wedge s:s\in S\}$ (esta ley distributiva infinita es consecuencia de la condición (2)). Los marcos se estudian como una generalización de los espacios topológicos (sobrios); a grandes rasgos, un marco es como la red de "conjuntos abiertos" de un "espacio topológico" en el que un conjunto abierto puede no estar determinado por los puntos que contiene.

Como esbozo de una prueba, si $L$ es la red de conjuntos abiertos de un espacio topológico $X$ entonces cumple (1) ya que una unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta. Para (2), nótese que para cualquier $x\in X$ el conjunto abierto $p_x=X\setminus\overline{\{x\}}$ es primo (los conjuntos abiertos que contiene son exactamente los conjuntos abiertos que no contienen a $x$ ). Si $a,b\subseteq X$ están abiertos con $a\not\subseteq b$ , dejemos que $x$ sea tal que $x\in a$ y $x\not\in b$ y luego $b\subseteq p_x$ y $a\not\subseteq p_x$ .

Por el contrario, supongamos $L$ satisface (1) y (2). Sea $X$ sea el conjunto de todos los elementos primos de $L$ . Podemos entonces poner una topología en $X$ diciendo que los conjuntos abiertos son los conjuntos de la forma $U_a=\{p\in X:a\not\leq p\}$ . El mapa $a\mapsto U_a$ convierte uniones arbitrarias en uniones y encuentros finitos en intersecciones, por lo que (1) implica que se trata efectivamente de una topología. Además, (2) implica que $a\leq b$ si $U_a\subseteq U_b$ de modo que $a\mapsto U_a$ es un isomorfismo de orden.

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Si se quiere exigir que el espacio topológico sea $T_1$ hay que modificar la condición (2) para decir que $L$ tiene suficiente máximo elementos primos (es decir, elementos primos $p$ tal que si $q\geq p$ y $q$ es primo, entonces $q=p$ ). La prueba es aproximadamente la misma: si $X$ es un $T_1$ espacio, entonces $\{x\}=\overline{\{x\}}$ para todos $x\in X$ por lo que los conjuntos abiertos $p_x$ utilizados anteriormente no sólo son primos, sino primos máximos (ya que el único conjunto mayor que ellos es $X$ sí mismo). Por el contrario, si $L$ es completa y tiene suficientes primos maximales, se puede tomar $X$ para ser el conjunto de los primos máximos y topologizarlo como antes, y la maximalidad de los primos garantizará que $X$ es $T_1$ .

Answer 2

Una condición necesaria (no sé si suficiente) es que se trate de una red distributiva .