¿Hasta dónde hay que llegar para contribuir a la frontera de la investigación?

Question

Cuando haces matemáticas de nivel universitario, tomas una secuencia de cursos:

Por ejemplo

1. Análisis sobre $R$

2. Análisis sobre $R^n$

3. Análisis funcional

4. ....

En ningún momento de estos cursos tenemos que hacer matemáticas a nivel de frontera de investigación.

Mi pregunta es: ¿hasta dónde hay que llegar para poder contribuir a la frontera de la investigación?

Obviamente, no hay una respuesta clara a esta pregunta, ya que difiere según el tema y depende de lo que se entienda exactamente por frontera de investigación.

No obstante, me pregunto si las personas que se encuentran en distintos puntos de la frontera de la investigación (a diferencia de mí) podrían darme una idea de "lo grande que es el mapa".

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Para aclarar mi pregunta, aquí hay dos imágenes.La primera me parece muy poco realista. Pero, ¿hasta qué punto es irreal? ¿La segunda es exagerada?

Con estas imágenes pretendo captar el "trabajo" que supone el aprendizaje de un tema, es decir, una unidad de superficie capta una unidad de "tiempo de trabajo concentrado" necesario para dominar el nivel. No quiero decir con estas imágenes que el análisis 1 sea "una parte del" análisis 2, sino que antes de poder entender el análisis 2, hay que haber estudiado el análisis 1. En otras palabras, con "llegar a la frontera de la investigación" me refiero a conquistar una zona del espacio, de manera que se llegue a lo "desconocido"

o ¿Cuál se acerca más a la verdad? ¿Cómo es el mapa real?

Answer 1

Ambas fotos no muestran cómo es en realidad. No soy bueno dibujando, así que intentaré explicar cómo lo veo yo:
Los temas se relacionan no por inclusión, como en sus imágenes, sino en un grafo dirigido. Si $T_1$ y $T_2$ son dos temas, entonces una arista $(T_1,T_2)$ significa que $T_2$ depende de $T_1$ . Puede ser una extensión del tema, puede ser algo que utilice técnicas y resultados de $T_1$ En la actualidad, hay muchas formas en las que un tema puede depender de otro.
Durante tus estudios, aprendes un montón de temas que se supone que tienen la mayor cantidad de salidas, es decir, que son importantes para muchos otros temas. Tu cadena de análisis sería uno de esos ejemplos, aunque la relación no está tan clara, dependiendo de lo que hagas puede haber dependencias en ambas direcciones.

Ahora bien, ¿dónde podemos encontrar nuevos temas, problemas sin resolver y fronteras en este gráfico? La respuesta es: en todas partes. En cada uno de los temas hay preguntas abiertas, y hay un número infinito de temas nuevos. Si quieres investigar, debes tener en cuenta este gráfico. Si tu tema es importante, en el sentido de que ya se conocen muchos caminos de salida, entonces es muy probable que mucha gente ya haya trabajado en eso, así que tienes muchas fuentes que podrían ayudarte. Sin embargo, si el problema aún no está resuelto, lo más probable es que sea realmente difícil resolverlo. Por otro lado, un tema con pocas (o ninguna) vías de salida conocidas puede permitirte encontrar resultados más fácilmente, pero es posible que haya menos gente interesada en ellos. Por lo tanto, también forma parte de la investigación generar aristas de salida de un tema, para demostrar que es interesante para cuestiones en las que no se había considerado previamente.

A mí me costó entender que, como estudiante, tenía que vivirlo primero. Si quieres encontrar la frontera "más cercana", te sugeriría la teoría de los números. Problemas como por ejemplo la conjetura de Goldbach pueden explicarse en una sola charla, incluyendo toda la información necesaria sobre lo que es un número primo, pero siguen sin resolverse.

Answer 2

Supongamos que este es mi mapa de análisis funcional:

Si viviera en el año 1976, el Principio de limitación uniforme sería desconocido para mí y estaría en la frontera. Entonces, después de leer el primera prueba mi mapa podría actualizarse a algo como esto:

Entonces, pensaba "sí, la frontera estaba más allá de mis conocimientos previos":

Sin embargo, esto no sería cierto. Como se muestra en este documento Aquí es donde reside realmente el principio de limitación uniforme:

Así, si fuera lo suficientemente inteligente, podría haber alcanzado la frontera sin ampliar mi mapa de conocimientos. En otras palabras: había un trozo de frontera muy cerca de mí, pero no podía verlo. Esto sucede porque las matemáticas no son sólo conocimiento. También se trata de creatividad:

Bien, no tenía suficiente imaginación para convertirse en matemático.
- David Hilbert, al enterarse de que uno de sus alumnos había abandonado los estudios para estudiar poesía.

En un examen de matemáticas... el examinador no puede contentarse con probar la competencia y los conocimientos del candidato; sus instrucciones son proporcionar una prueba de más que eso, de iniciativa, imaginación e incluso de algún tipo de originalidad.
- G. H. Hardy

Para conocer la distancia entre tus conocimientos y los resultados desconocidos, tienes que conocer necesariamente el camino. Pero si conoces ese camino, el resultado ya no es desconocido (por supuesto, estoy hablando de pruebas, que es la única manera de contribuir). Por lo tanto, tu pregunta "¿cuánto mide el mapa?" no puede ser respondida satisfactoriamente.

Y para la otra pregunta "¿Cómo es el mapa real?", yo diría que ninguno. Creo que, en un mapa más realista, la frontera debería intersecar incluso el conocimiento elemental. De lo contrario, nunca se encontrarían pruebas elementales.

Observación 1. Como ya se ha explicado, hay más de un camino para llegar al Principio de Limitación Uniforme (y, por lo tanto, podría ser alcanzado por personas con diferentes niveles de conocimiento). De hecho, como se indica aquí y aquí Hay muchos resultados con esta característica.

Observación 2. Aunque (en mi opinión) no es posible ver la distancia a la frontera (como expliqué más arriba), no estoy diciendo que no exista un mapa (del conocimiento). De hecho, algunos matemáticos de alto nivel tienen mapas. He aquí cómo Laurent Schwartz describió su mapa (al que llamó "castillo interior"):

... todo el conocimiento matemático que he acumulado, vive dentro de mi cerebro de manera bien estructurada. Cada parte está conectada a otras partes, cada parte está precedida y seguida por otras partes. El conjunto forma un conjunto bellamente ordenado. Esta estructura me parece tan hermosa como un palacio. Tiene una estructura rígida.

... No veo cómo podría hacer nuevas matemáticas si mis matemáticas internas no estuvieran tan organizadas.

... Cuando recibo una impresión del exterior, tengo que toda una serie de fenómenos en su lugar e incluir la nueva idea en mi propio esquema de cosas. Mi castillo es entonces aún más perfecto que que antes. Tal vez algunas partes hayan sido rechazadas por inútiles de vez en cuando, pero es necesario hacer una limpieza de vez en cuando. Otros elementos se han incorporado a él. Y el castillo se va modificando poco a poco, sin que parezca que se hace más grande.

... Conozco a muchos matemáticos que opinan sobre las nuevas ideas del modo que he descrito arriba, y otros que tienen una mente increíblemente rápida. Este último tipo debe tener un castillo interior con un tipo de estructura diferente.

... Por supuesto, a menudo hay muchas formas de llegar de un punto a otro, y un castillo bien construido las contiene todas. Es más o menos el mismo sistema que las neuronas.

... Mi memoria matemática me abandona a pasos agigantados pasos. Este libro muestra que mis recuerdos de los acontecimientos de mi vida no me han abandonado, pero eso no es suficiente para crear matemáticas. Recuerdo los momentos y las circunstancias de mis creaciones pasadas, pero mucho menos de las creaciones mismas .... Mi hermoso castillo interior se está deteriorando, las conexiones están desapareciendo y a veces me pierdo.

- Un matemático que se enfrenta a su siglo .

Answer 3

Puedes llegar a la frontera bastante antes de lo que probablemente esperas. Por ejemplo, con un curso de análisis y otro de álgebra lineal puedes llegar a las fronteras (llegar significa que entiendes el enunciado de las conjeturas) de varios campos del análisis funcional, por ejemplo, la teoría de marcos. Sin embargo, hacer contribuciones significativas a la frontera está todavía muy lejos. El hecho de que uno pueda leer el enunciado de la conjetura de la TRH y entender lo que pide en un nivel superficial no significa que pueda decir nada significativo al respecto.