¿Por qué la equivalencia birracional preserva la ley de grupo en las curvas elípticas?

Question

En el primer capítulo de "Rational points on Elliptic curves", Silverman, página 24 escribe

Las transformaciones que usamos para poner la curva en forma normalizada no mapean líneas rectas a líneas rectas. Dado que definimos la ley de grupo en nuestra curva utilizando líneas que conectan puntos, no está nada claro que nuestra transformación conserve la estructura del grupo. (Es decir, ¿es nuestra trans-formación un homomorfismo?) Lo es, pero no es del todo evidente. La cuestión es que nuestra descripción de la adición de puntos en la curva no es buena, porque parece depender de la forma en que la curva está incrustada en el plano. Pero, de hecho, la ley de adición es una operación intrínseca que puede describirse en la curva y es invariante bajo una transformación birracional. Esto se deduce de hechos básicos sobre las curvas algebraicas, pero no es tan fácil (¿prácticamente imposible?) de demostrar simplemente manipulando las ecuaciones explícitas.

Esto parece muy importante y realmente sorprendente (al menos para mí). ¿Se aborda esto más adelante en el libro? ¿Cuál sería un buen recurso para obtener un esbozo de esa prueba, o al menos para tener una idea de por qué funciona?

Answer 1

Referencia: Hartshorne's Geometría algebraica , capítulo II, ejemplo 6.10.2. Hartshorne muestra que los puntos de una curva cúbica no singular con un punto distinguido corresponden naturalmente a los elementos del grupo de clases de divisores de grado $0$ en la curva módulo de los divisores principales. La operación de adición de divisores en una curva y la noción de divisor principal no dependen de la incrustación de la curva en el espacio proyectivo, por lo que la operación de grupo sobre el conjunto de puntos se preserva por equivalencia birracional.