La función $$ (\alpha,\beta) \mapsto \int_0^\beta \frac{\sin\alpha\,d\zeta}{1+\cos\alpha\cos\zeta} $$ es una función simétrica de $\alpha$ y $\beta$ . Pero no conozco una forma más sencilla de verlo que encontrando la integral. Haz la Weierstrass sustitución de medio ángulo tangente y sigue girando la manivela hasta que llegues a ella. Supongamos que no quieres conocer la integral sino que sólo quieres mostrar la simetría en $\alpha$ y $\beta$ . ¿Hay alguna forma inteligente de transformar la integral en una en la que $\alpha$ y $\beta$ ¿Representan papeles evidentemente simétricos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Robert Christie
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Supongo que una forma sería ir a la mitad de la sustitución de Wierstrass. Deja que $ \tan \frac{\zeta}{2} = t \tan \frac{\beta}{2}$ haciéndolo: $$\begin{eqnarray} \int_0^\beta \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha \cos \zeta} \mathrm{d}\zeta &=& \int_0^1 \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2} }{\left(1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}\right) + \left(1-\tan^2 \frac{\alpha}{2}\right) \frac{1- t^2 \tan^2 \frac{\beta}{2}}{1+ t^2 \tan^2 \frac{\beta}{2}} } \frac{2 \tan \frac{\beta}{2}}{1+ t^2 \tan^2 \frac{\beta}{2}} \mathrm{d}t \\ &=& \int_0^1 \frac{4 \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2}}{ \left(1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}\right)\left(1 + t^2 \tan^2 \frac{\beta}{2} \right) + \left(1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}\right)\left(1 - t^2 \tan^2 \frac{\beta}{2} \right)} \mathrm{d}t \\ &=& \int_0^1 \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2}}{ 1 + t^2 \tan^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \tan^2 \frac{\beta}{2} } \mathrm{d}t \end{eqnarray} $$ que es explícitamente simétrica. Sin embargo, la forma cerrada se lee ahora fácilmente como una integral de tabla: $$ \int_0^\beta \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha \cos \zeta} \mathrm{d}\zeta = 2 \operatorname{arctan} \left( \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2} \right) $$
También se puede proceder a la diferenciación. Sea $F(\alpha,\beta)$ denotan la integral original. Entonces $$ \frac{\partial F(\alpha,\beta)}{\partial \alpha} = \int_0^\beta \frac{\cos \alpha + \cos \zeta}{\left(1+\cos \alpha \cos \zeta\right)^2} \mathrm{d}\zeta = \left. \frac{\sin \zeta}{1+ \cos \alpha \cos \zeta} \right|_{\zeta=0}^{\zeta=\beta} = \frac{\sin \beta}{1 +\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\partial F(\alpha,\beta)}{\partial \beta} $$ Esto implica que $F(\alpha,\beta) - F\left(\beta,\alpha\right) = \mathrm{const.}$ . La constante debe ser cero, ya que la constante es independiente de $\alpha$ y $\beta$ y debe ser igual al negativo de sí mismo intercambiando $\alpha$ y $\beta$ en el lado izquierdo.
