¿Qué hay de malo en este argumento de que la energía cinética va como $v$ en lugar de $v^2$ ?

Question

Tratando de explicar de forma no técnica por qué la energía (cinética) va como $v^2$ en lugar de la quizás más intuitiva "el doble de velocidad, el doble de energía" $v$ En este caso, terminé metiendo el pie en la boca (en sí, una manipulación física difícil:) al "demostrar" precisamente lo que no quería demostrar, de la siguiente manera.

Supongamos que tienes un objeto que se mueve a velocidad $v$ . Eso requerirá cierta cantidad de energía, que llamaremos simplemente $E_v$ (no tendremos que molestarnos en calcularlo). Ahora bien, para otra persona, que se mueve junto a ese objeto, éste parece estar inmóvil. Así que puede conseguir que se mueva a $v$ respecto a sí mismo con la misma energía $E_v$ que usaste para que se moviera en $v$ en relación a ti mismo.

Por lo tanto, la energía total utilizada es $2E_v$ Primero, para que se mueva de $0$ a $v$ en relación con usted, y luego hacer que se mueva de $0$ a $v$ en relación con ese otro tipo. Pero ahora se está moviendo a $2v$ en relación con usted, y la energía total utilizada es $2E_v$ en lugar de la respuesta correcta conocida $4E_v$ .

Entonces, ¿qué pasa? Supongo que de alguna manera tiene que ver con esos dos marcos de laboratorio diferentes. Por ejemplo, tal vez cualquier aparato que el segundo tipo utilizó en su marco primero tuvo que adquirir su $v$ en relación con su marco original, y eso requiere algo de energía. Pero aún así, ¿por qué exactamente un extra $2E_v$ (para compensar la diferencia "que falta")? Así que no puede ser precisamente el error del argumento. Pero son los dos marcos, de alguna manera. ¿Verdad? ¿O qué?

>>Edición<< Esta es una respuesta ampliada a @StephenG El comentario del Sr. G. de la @PhilipWood respuesta de la Comisión a continuación.

Stephen: seguro que la energía es un concepto de sentido común -- todo en la física es (debe ser) de sentido común si puedes llegar a la intuición subyacente. Y después de fracasar estrepitosamente con mi argumento descrito anteriormente, se me ocurrió un intento más exitoso, descrito a continuación sólo para probar mi punto de que en última instancia debe ser de sentido común. Este argumento es un poco más elaborado, y me gustaría llegar a uno correcto más simple. Pero al menos este argumento obtiene el resultado correcto...

Supongamos que te golpean con una pelota que va a velocidad $v$ y luego con una pelota idéntica que va a la velocidad $2v$ . Entonces, ¿cuánto más "duro" es el $2v$ ¿la pelota te golpeó?

Para responder a esto, supongamos que las bolas están formadas por montones y montones de pequeñas partículas idénticas muy juntas, que se mueven una al lado de la otra. Entonces, cada pequeña $2v$ -partícula lleva el doble de "punch" que una $v$ -partícula ("golpe" aquí es, por supuesto, el impulso, no la energía, pero acabo de decir "golpe" para evitar introducir grandes palabras y tecnicismos innecesarios).

Sin embargo, como el $2v$ -las partículas viajan el doble de rápido, entonces en, digamos, un segundo, el doble de ellas te golpearán. Por lo tanto, te golpearán el doble de partículas, cada una con el doble de "golpe". Así que el "golpe total" será cuatro veces mayor, no dos.

De acuerdo, este argumento implica el tiempo, y por lo tanto la potencia en lugar de la energía. Así que no cumple al 100% su propósito. Pero como se trataba de una discusión no técnica, simplemente no me molesté en mencionar mis recelos al respecto. Me pareció que era suficiente por el momento.

Pero, para elaborar mi pregunta original, ¿puedes hacer más hermético el argumento anterior, y tal vez explicar qué es lo que falla en el original (espero que sea correcto e incluso más sencillo que éste)?

Answer 1

En general, ni las energías ni las diferencias de energía son invariables entre marcos. Pero la conservación de la energía es cierta en todos los marcos, y podemos utilizarla para averiguar dónde está el problema.

Recapitulando, la persona en el marco móvil gasta energía $E_v$ de sus músculos para aumentar la energía cinética del objeto en $E_v$ Lo cual está muy bien. La persona en el marco original coincide con la persona en el marco móvil gasta energía $E_v$ a partir de la energía química de sus músculos (todo el mundo está de acuerdo en que alguien está sudando mucho) y eleva la energía cinética del objeto en $3 E_v$ .

El extra $2 E_v$ de energía proviene del hecho de que la persona en movimiento partía de una reserva de energía cinética: la de su propio cuerpo, que se mueve a velocidad $v$ . Esta energía se reduce porque la persona se ralentiza debido a la tercera ley de Newton; se "cosecha" para ponerla en el objeto.

No hay manera de evitar poner esta energía extra. Si se intenta reducir el cambio de velocidad poniéndolos en un coche grande, la energía proviene de la energía cinética del coche; el argumento es el mismo. Si la velocidad del coche también es fija, la energía proviene de la energía química de la gasolina. El la misma explicación se mantiene para un cohete, donde esto se llama el efecto Oberth. En todos los casos, no hay contradicción en considerar que la energía es cuadrática en la velocidad.

Por si no estás convencido, aquí tienes un cálculo explícito. Haremos que la masa de la persona sea infinita por comodidad. La pérdida de energía cinética de la persona es $$\Delta K = \frac{dK}{dp} \Delta p = \frac{p}{M} m v = m v^2 $$ donde utilicé $K = p^2/2M$ por la energía cinética de la persona. Pero esto es sólo $2 E_v$ como se ha indicado anteriormente.

Answer 2

En realidad, esta cuestión se resolvió experimentalmente en el $18^{\mathrm{th}}$ en discusiones sobre qué cantidad merecía el título de " vis viva "(véase también, esta discusión en StackExchange ). Resumiendo, la discusión se resolvió gracias a los experimentos realizados por Willem 's Gravesande y dilucidado por Émilie du Châtelet . Esos experimentos demostraron, básicamente, que la cantidad de arcilla que se puede deformar dejando caer una bola pesada en ella depende de lo que ahora llamamos energía cinética, $\frac{1}{2}mv^2$ no el impulso.

Lo complicado, por supuesto, es que el contenido de energía cinética de un objeto depende del observador, y al no tenerlo en cuenta es donde te equivocas con afirmaciones como "Así que la energía total utilizada es $2E_v$ "; estás sumando energías cinéticas observadas por diferentes personas que están en diferentes marcos de referencia, y no puedes hacer eso. Los Cazadores de Mitos cayeron de lleno en esta trampa de una manera ligeramente diferente en un episodio sobre colisiones frontales con semirremolques cuando uno de ellos dijo que las colisiones frontales eran 4 veces más peligrosas que chocar contra una pared de ladrillos porque había 4 veces más energía involucrada. Estaban pensando en que uno de los conductores ve el doble de la velocidad de aproximación y, por tanto, 4 veces la energía. Cuando volvieron a comprobar esa afirmación utilizando péndulos que colisionaban con arcilla, descubrieron que sólo había el doble de energía en la colisión, y que la deformación en la colisión frontal igual es la misma que la de "chocar contra una pared".

¿La razón? Es porque para cosechar la $4\times$ energía que los observadores del camión creen que hay, la colisión tendría que terminar con ambos camiones moviéndose hacia la derecha (o hacia la izquierda) con la velocidad inicial del camión que va hacia la derecha (hacia la izquierda). Como ambos terminan el proceso en el marco terrestre, el marco terrestre es el que evaluó correctamente la energía cinética disponible. Por eso en la relatividad especial nos centramos tanto en la "masa invariante" en las colisiones: es la parte de la energía que está realmente disponible para hacer cosas durante la colisión, y todos los observadores están de acuerdo con ella.

En concreto, si tiene objetos etiquetados como $1$ y $2$ en curso de colisión, entonces la energía disponible para deformar/calentar los objetos (o crear nuevas partículas en un colisionador de partículas) es \begin{align} E_{\mathrm{COM}} &= \sqrt{(E_1-E_2)^2 - \left(\vec{p}_1-\vec{p}_2\right)^2 c^2} \\ & = \sqrt{\left(\sqrt{\vec{p}_1^2c^2 + (m_1c^2)^2 }-\sqrt{\vec{p}_2^2c^2 + (m_2c^2)^2 }\right)^2 - \left(\vec{p}_1-\vec{p}_2\right)^2 c^2}, \end{align} donde $E_{\mathrm{COM}}$ es la energía en el marco del centro de masa (o del momento).

Por supuesto, esa expresión incluye la energía de la masa. Para que sea útil para situaciones en las que eso no cambia, hay que restar $m_1c^2$ y $m_2c^2$ para obtener la energía "cinética". Eso produce \begin{align} K_{\mathrm{COM}} & = \sqrt{(m_1 c^2)^2 + (m_2 c^2)^2 + 2 \vec{p}_1\cdot\vec{p}_2 c^2 - 2 E_1 E_2 } - m_1 c^2 - m_2 c^2. \end{align} Obtener una aproximación a baja velocidad de $K_{\mathrm{COM}}$ es un proceso largo que hay que manejar con cuidado porque la función raíz cuadrada no es analítica cerca de $0$ . Sin embargo, como su nombre indica, es la energía cinética observada por alguien que está en el marco del centro de masa todo el tiempo, por lo que podemos hacer la derivación en el límite de baja velocidad desde el principio utilizando $$\vec{v}_{\mathrm{COM}} \equiv \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$$ produciendo (mediante transformaciones galileanas) $$K_{\mathrm{COM}} = \frac{m_1}{2} \left(\vec{v}_1 - \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}\right)^2 + \frac{m_2}{2} \left(\vec{v}_2 - \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}\right)^2. $$ Aunque la fórmula es bastante más complicada, todos los observadores coinciden en que cuando $m_1$ y $m_2$ colisionan, esta es la cantidad de energía disponible para "hacer cosas" porque nada $m_2$ y $m_2$ puede hacer, de forma aislada, puede afectar a la forma en que su centro de masa se mueve en relación con todos los demás (sin interactuar con el resto del universo o arrojar algo de masa/energía, $m_3$ ).

Answer 3

Comenzar con un definición de energía cinética. Yo diría que "la energía cinética de un cuerpo es la cantidad de trabajo que puede realizar al llegar al reposo". Entonces considera algo como un trineo cargado de masa $m$ moviéndose a velocidad $u$ en terreno llano. Imagínate que alguien tira de una cuerda atada a él para que se detenga. Si suponemos que la deceleración del trineo es uniforme (para facilitarnos la vida), entonces, utilizando $W=Fs$ , $F=ma$ y $v^2=u^2+2as$ Deberías ser capaz de demostrar que la cantidad de trabajo que realiza el trineo es $\frac{1}{2}m u^2$ .

Answer 4

¿Qué le dirías a un hombre que piensa que subir un tramo de escaleras es demasiado agotador, así que camina por el centro comercial durante una hora buscando un ascensor?

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Hay una parte de la intuición (el miedo a las alturas, etc.) que parece estar incorporada a nuestra psique desde el nacimiento, pero la inmensa mayoría de las intuiciones que tenemos son intuiciones que construir . Tenemos una idea aproximada de la velocidad porque caminamos, trotamos y esprintamos. Nos hacemos una idea de la fuerza porque nos empujamos contra las piedras y entre nosotros.

Nada de lo que hace la persona promedio le da una sensación de trabajo y energía. De hecho, la intuición suele ir precisamente en la otra dirección. Dile a alguien que sostiene un mueble pesado del suelo que no está haciendo ningún trabajo con él, y puede que lo deje caer deliberadamente sobre tu pie.

En sus explicaciones sobre la energía cinética, usted invoca (implícitamente) el trabajo, la potencia, el impulso y cambios en el marco de referencia . Cada uno de esos conceptos (y especialmente el último) es más complicado que la noción de energía cinética. ¿Ha visto alguna vez el video donde Feynman discute con un periodista sobre su explicación de la repulsión magnética? Esto es casi precisamente de lo que estaba hablando.

Es posible dar argumentos a mano de por qué la energía cinética es cuadrática en la velocidad. Se podría argumentar que se necesita cuatro veces más esfuerzo para levantar un objeto a una altura $4h$ que levantar el mismo objeto a una altura $h$ Por lo tanto, en el primer caso, el objeto tiene cuatro veces más energía, pero chocaría contra el suelo con sólo el doble de velocidad (¿por qué? Esto podría requerir otra explicación a mano).

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Pero para ser honesto, creo que el mejor enfoque sería algo así:

Existe una cantidad llamada "energía cinética" que refleja cómo difícil es hacer que un objeto de masa $m$ moverse a una velocidad $v$ - o a la inversa, lo difícil que es detenerlo una vez que ya está en movimiento. Matemáticamente, es igual a $\frac{1}{2} m v^2$ , lo que significa que que al duplicar la masa del objeto se duplica la energía, pero al duplicar la velocidad del objeto cuadruplica la energía.

Si quiere saber más al respecto (por qué el factor de $\frac{1}{2}$ ? Por qué $v^2$ y no $v$ ?), entonces estaría encantado de preparar unas discusiones para explicárselo. Pero le advierto que le llevará un tiempo y habrá que desempolvar los viejos conocimientos de álgebra para algunos de ellos. para ello.

Answer 5

En la mecánica clásica las leyes del movimiento no cambian con el tiempo. (Por ejemplo, la primera ley de Newton es tan cierta a las 8 de la mañana como a las 8 de la tarde). Esto significa que matemáticamente se puede encontrar una cantidad (para cualquier conjunto de objetos) que permanece igual independientemente del tiempo. La cantidad se define como Energía y es útil sólo porque debe conservarse.

Para esta pregunta ignora la idea de la energía potencial, etc. y centrémonos en la energía cinética, que queremos que se conserve independientemente del tiempo. En la mecánica clásica, el movimiento de un conjunto de objetos puede definirse completamente mediante la posición (x,y,z), la velocidad v y el tiempo t. La energía cinética debe ser una función de estas variables. No puede depender del tiempo (obviamente o no se conservaría), no puede depender de la posición (el espacio es el mismo de un lugar a otro), no puede depender de la velocidad (porque la velocidad tiene una dirección y la energía cinética debería permanecer igual independientemente del tiempo y, por tanto, no puede depender de la dirección en la que viaja un objeto). Dependencia de la energía cinética de $v^2$ funcionará porque $v^2$ es un escalar.

En tu ejemplo, has definido una cantidad que depende de la velocidad, no es la energía cinética porque no se conserva en el tiempo. La cantidad que has definido no tiene ninguna ley de conservación útil asociada y, por tanto, no es útil al aplicar las matemáticas a los problemas de la mecánica clásica. (Por cierto, la cantidad que has definido en tu pregunta y que has llamado "energía cinética" es un vector, no un escalar).