Hay varias preguntas y respuestas relacionadas aquí, aquí y aquí. A pesar de eso, no voto para cerrar como duplicado, porque parece que tu pregunta es diferente de las otras tres en que estás preguntando más sobre lo que es una "dimensión física". La tercera pregunta incluso es respondida más o menos con la pregunta que estás haciendo. Relacionado con esta pregunta está la respuesta aquí, que creo que es excelente.
En resumen, los ángulos no son intrínsecamente adimensionales. Son adimensionales por convención. Justificaré esto en un momento.
Ahora. Sobre "dimensión física". Para una definición, ve aquí.
Sin embargo, creo que "dimensión física" es una mala forma de describir lo que son las dimensiones de las unidades. Es más confuso de lo necesario.
Por lo tanto, comenzaré mi respuesta definiendo formal y matemáticamente qué son las unidades en primer lugar. Las unidades son una forma de asignar tipos a los números. Las unidades tienen su propia aritmética. Se pueden multiplicar y dividir unidades para obtener nuevas unidades compuestas. Por ejemplo, $\textrm{m}/\textrm{s}=\textrm{m}/\textrm{s}$ es el tipo de velocidad. O $\textrm{m}\cdot\textrm{m}=\textrm{m}^2$. También está la unidad de identidad, $\textrm{id}$. Esta es la unidad de una cantidad adimensional. Para cualquier unidad $u$, $u/u=\textrm{id}$, o $\textrm{id}\cdot u = u$. Por lo general, omitimos la unidad de identidad de los números cuando escribimos cantidades "sin unidades", por ejemplo, solemos escribir $1 \textrm{ id}$ como simplemente $1$, pero se puede pensar que hay una unidad implícita allí.
Ahora también podemos definir nuevas unidades en términos de las unidades antiguas. Así es como se definen la mayoría de las unidades métricas. Por ejemplo $\textrm{N}:= \textrm{kg}\cdot\textrm{m}/\textrm{s}^2$. Ahora $\textrm{N}$ en realidad es igual a $\textrm{kg}\cdot\textrm{m}/\textrm{s}^2$, por lo que los dos son intercambiables, simplemente usamos $\textrm{N}$ como abreviatura para el tipo compuesto. Del mismo modo, resulta que definimos $\textrm{rad}:= \textrm{m}/\textrm{m}=\textrm{id}$. En cuanto a por qué lo definimos de esa manera, muchas respuestas en esta página y las que he vinculado responden a eso, así que no profundizaré en ello. En resumen, es porque definimos el radián para que mida una relación de longitudes. Si $s$ es la longitud de un arco cortado por un ángulo central de medida de radián $\theta$ de un círculo de radio $r$, entonces $s=r\theta$, o $\theta = \frac{s}{r}$. Ahora algunas unidades también tienen una constante delante de las unidades básicas en su definición. Por ejemplo, como la fórmula de la longitud de arco cuando $\theta$ se mide en grados se convierte en $s=\frac{\pi}{180}r\theta$, $\textrm{deg} = 180/\pi \textrm{ id}$.
Ahora, pasando al punto principal. De hecho, todas las unidades del SI se pueden escribir en términos de siete unidades básicas. ¿Por qué el radián es adimensional a pesar de que mide lo que podría considerarse una cantidad o dimensión física?
Convención. Como se menciona en esta respuesta, se podría agregar una 8va unidad fundamental, digamos el radián. Luego, la fórmula para la longitud de arco sería $s= \frac{r\theta}{\textrm{rad}}$. Todo lo que necesitamos hacer es introducir una nueva constante en la fórmula de dimensión $\textrm{rad}^{-1}$, y todo funcionaría bien. La razón por la que no lo hacemos es que queremos tratar de reducir el número de unidades primitivas tanto como sea posible. Relacionado con esto, por razones históricas, el mol, que mide "cantidad de sustancia", básicamente solo cuenta el número de átomos de esa sustancia presente, por lo tanto, es algo adimensional. De hecho, hay una propuesta para eliminarlo como una unidad base del SI según esta respuesta aquí (quizás, no está muy claro cuál es el alcance de la propuesta).
Esencialmente, se puede tomar como la definición de la dimensión de una unidad que es la forma en que esa unidad se expresa en términos de las unidades básicas del SI (ignorando cualquier constante delante). Así que $\textrm{rad}=\textrm{id}$ tiene dimensión $\textrm{id}$, y $\textrm{deg}=\frac{180}{\pi}\textrm{ id}$ también tiene dimensión $\textrm{id}$. De manera similar, $\textrm{ft}$ tiene dimensión $\textrm{m}$, aunque podríamos expresarlo en inglés en este caso diciendo que tiene dimensiones de longitud.
Ahora podría ser una pregunta natural preguntar, ¿por qué tenemos todas estas otras unidades si todas se pueden expresar en términos de las unidades básicas? ¿Para qué sirven?
La respuesta es aproximadamente tres cosas.
- Las unidades mantienen información semántica adicional. $1\textrm{ rad}$ es semánticamente diferente que $1\textrm{ id}$. Sintácticamente, se comportan igual en las matemáticas, sin embargo, la primera me dice que la cantidad proviene de medir algún ángulo. Además, $\textrm{N}/\textrm{m}^2$ sugiere presión, en comparación con $\textrm{kg}\cdot \textrm{m}^{-1}\cdot\textrm{s}^{-2}$.
- Brevidad, por supuesto. Definir nombres cortos y símbolos para unidades compuestas comúnmente utilizadas hace que las ecuaciones sean más cortas y claras. (Esto se relaciona un poco con el punto 1).
- Para evitar que hagamos algo incoherente. No tiene sentido intentar sumar cantidades con unidades diferentes. $1\textrm{ m}+1\textrm{ s}$ no tiene absolutamente ningún sentido. Esto se puede explicar diciendo que las dimensiones no coinciden, es decir, que las expresiones tienen diferentes unidades básicas del SI. Sin embargo, tampoco deberíamos poder sumar $1\textrm{ rad}$ y (bueno, la única otra unidad oficialmente adimensional del SI es el estereorradián, así que introduciré la unidad adimensional $\textrm{item}=\textrm{id}$ que cuenta una cantidad de algo), $1\textrm{ item}$. Es decir, $1\textrm{ rad}+1\textrm{ item}$ no debería tener sentido. Por lo tanto, tener otras unidades es útil para evitar que hagamos algo que no tenga sentido con nuestras cantidades.
Editar:
Después de haber escrito este artículo y leído las referencias que he citado, ahora estoy más a favor de agregar el ángulo y la cuenta de cosas (en lugar del mol) como dimensiones fundamentales. Pero el punto principal de mi respuesta es que básicamente es arbitrario y está basado en convenciones. De hecho, argumentaría que la razón por la que no se puede sumar $\textrm{item}$ y $\textrm{rad}$ aunque ambas se definen como iguales a $\textrm{id}$ es que deberían tener dimensiones diferentes. Por otro lado, siempre que se convierta a una unidad común primero, digamos $\textrm{rad}$, se pueden sumar grados y radianes de manera sensata.
Editar 2: para una respuesta en la misma línea, acabo de ver la respuesta aquí.
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El radián es la razón de dos longitudes, es decir, la relación entre la longitud del arco y el radio. Si los radianes tuvieran dimensiones, ¿cómo se podría entender la identidad $$\sin x=x=x^3/3!+x^5/5!-\cdots$$? A la izquierda, $\sin x$ no tiene dimensiones, es la relación entre las longitudes de dos lados de un triángulo. A la derecha, estamos sumando cantidades de dimensiones variables. Según usted, sumar radianes cúbicos sería como sumar pulgadas cúbicas o acres cúbicos.
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Radianes no son adimensionales, simplemente no tienen dimensionalidad espacial o temporal. En álgebra compleja, hay tanto ángulo como fase, y estos son (¡o deberían ser!) rastreados a través de las ecuaciones de uno.