Hay varias preguntas y respuestas relacionadas aquí, aquí, y aquí. A pesar de eso, no estoy votando para cerrar como duplicado, porque parece que tu pregunta es diferente de las otras tres en el sentido de que estás preguntando más sobre lo que es una "dimensión física". La tercera pregunta está incluso respondida con más o menos la pregunta que estás haciendo. Relacionada con esta pregunta está la respuesta aquí, que creo que es excelente.
La realidad es que los ángulos no son intrínsecamente adimensionales. Son adimensionales por convención. Justificaré esto en un momento.
Ahora. Acerca de "dimensión física". Para una definición, ver aquí.
Sin embargo, creo que "dimensión física" es una mala manera de describir lo que son las dimensiones de las unidades. Es más confuso de lo que necesita ser.
Por lo tanto, comenzaré mi respuesta definiendo formal y matemáticamente qué son las unidades en primer lugar. Las unidades son una forma de asignar tipos a los números. Las unidades tienen su propia aritmética. Se pueden multiplicar y dividir unidades para obtener nuevas unidades compuestas. Por ejemplo $\textrm{m}/\textrm{s}=\textrm{m}/\textrm{s}$ es el tipo de una velocidad. O $\textrm{m}\cdot\textrm{m}=\textrm{m}^2$. También está la unidad identidad, $\textrm{id}$. Esta es la unidad de una cantidad adimensional. Para cualquier unidad $u$, $u/u=\textrm{id}$, o $\textrm{id}\cdot u = u$. Por lo general, eliminamos la unidad identidad de los números cuando escribimos cantidades "sin unidades", por ejemplo, por lo general escribimos $1 \textrm{ id}$ como simplemente $1$, pero se puede pensar que hay una unidad implícita ahí.
Ahora también podemos definir nuevas unidades en términos de las viejas unidades. Así es como se definen la mayoría de las unidades métricas. Por ejemplo $\textrm{N}:= \textrm{kg}\cdot\textrm{m}/\textrm{s}^2$. Ahora $\textrm{N}$ realmente es igual a $\textrm{kg}\cdot\textrm{m}/\textrm{s}^2$, por lo que los dos son intercambiables, simplemente usamos $\textrm{N}$ como abreviatura para el tipo compuesto. Del mismo modo, resulta que definimos $\textrm{rad}:= \textrm{m}/\textrm{m}=\textrm{id}$. En cuanto a por qué lo definimos así, muchas otras respuestas en esta página y las que he enlazado responden a eso, así que no lo abordaré en profundidad. brevemente, es porque definimos el radian para que mida una relación de longitudes. Si $s$ es la longitud de un arco cortado por un ángulo central de medida en radianes $\theta$ de un círculo de radio $r$, entonces $s=r\theta$, o $\theta = \frac{s}{r}$. Ahora algunas unidades también tienen una constante delante de las unidades básicas en su definición. Por ejemplo, dado que la fórmula de la longitud de arco cuando $\theta$ se mide en grados se convierte en $s=\frac{\pi}{180}r\theta$, $\textrm{deg} = 180/\pi \textrm{ id}$.
Ahora, pasando al punto principal. De hecho, todas las unidades del SI se pueden escribir en términos de siete unidades base. ¿Por qué el radián es adimensional aunque mide lo que podría considerarse una cantidad o dimensión física?
Convención. Como se mencionó en esta respuesta, uno podría agregar una 8ª unidad fundamental, digamos el radián. Entonces la fórmula para la longitud de arco se convertiría en $s= \frac{r\theta}{\textrm{rad}}$. Todo lo que necesitamos hacer es introducir una nueva constante en la fórmula de dimensión $\textrm{rad}^{-1}$, y todo funcionaría perfectamente. La razón por la que no lo hacemos es que queremos intentar reducir el número de unidades primitivas tanto como sea posible. Asimismo, por razones históricas, el mol, que mide "cantidad de sustancia", básicamente solo cuenta el número de átomos de esa sustancia presente, por lo tanto, es una especie de adimensional. De hecho, hay una propuesta para eliminarlo como una unidad base del SI según esta respuesta aquí (quizás, no está muy claro cuál es el alcance de la propuesta).
Básicamente, se puede tomar como definición de la dimensión de una unidad que es la forma en que esa unidad se expresa en términos de las unidades básicas del SI (ignorando cualquier constante delante). Así que $\textrm{rad}=\textrm{id}$ tiene dimensión $\textrm{id}$, y $\textrm{deg}=\frac{180}{\pi}\textrm{ id}$ también tiene dimensión $\textrm{id}$. Del mismo modo, $\textrm{ft}$ tiene dimensión $\textrm{m}$, aunque podríamos expresarlo en inglés en este caso diciendo que tiene dimensiones de longitud.
Podría ser una pregunta natural preguntar, ¿por qué tenemos todas estas otras unidades si todas se pueden expresar en términos de las unidades básicas? ¿Para qué sirven?
La respuesta es aproximadamente tres cosas.
- Las unidades llevan información semántica adicional. $1\textrm{ rad}$ es semánticamente diferente de $1\textrm{ id}$. Sintácticamente, se comportan de la misma manera en las matemáticas, sin embargo, el primero me dice que la cantidad proviene de medir algún ángulo. Además, $\textrm{N}/\textrm{m}^2$ sugiere presión, en comparación con $\textrm{kg}\cdot \textrm{m}^{-1}\cdot\textrm{s}^{-2}$.
- Brevidad, por supuesto. Definir nombres cortos y símbolos para unidades compuestas comúnmente utilizadas genera ecuaciones más cortas y claras. (Esto se relaciona con el punto 1).
- Para evitar que hagamos algo incoherente. No tiene sentido tratar de sumar cantidades con diferentes unidades. $1\textrm{ m}+1\textrm{ s}$ no tiene sentido alguno. Esto se puede explicar diciendo que las dimensiones no coinciden, es decir, que las expresiones tienen diferentes unidades básicas del SI. Sin embargo, tampoco deberíamos poder sumar $1\textrm{ rad}$ y (bueno, la única otra unidad adimensional oficial del SI es el estereorradian, así que introduciré la unidad adimensional $\textrm{item}=\textrm{id}$ que cuenta una cantidad de algo), $1\textrm{ item}$. Es decir, $1\textrm{ rad}+1\textrm{ item}$ no debería tener sentido. Por lo tanto, tener otras unidades es útil para evitar que hagamos algo que no tenga sentido con nuestras cantidades.
Editar:
Después de haber escrito este post y leído las referencias que cité, ahora estoy realmente más a favor de la posición de agregar el ángulo y la cantidad de cosas (en lugar del mol) como dimensiones fundamentales. Pero todo el punto de mi respuesta es que es básicamente arbitrario y basado en convención. De hecho, argumentaría que la razón por la que no se pueden sumar $\textrm{item}$ y $\textrm{rad}$ aunque ambas se definen como iguales a $\textrm{id}$ es que deberían tener dimensiones diferentes. Por otro lado, siempre y cuando conviertas primero a una unidad común, digamos $\textrm{rad}$, puedes sumar con sensatez grados y radianes.
Editar 2: para una respuesta en la misma línea, acabo de notar la respuesta aquí.
1 votos
El radián es la razón de dos longitudes, es decir, la relación de la longitud del arco al radio. Si los radianes tuvieran dimensiones, ¿cómo podría tener sentido la identidad $$\sin x=x=x^3/3!+x^5/5!-\cdots$$? En el lado izquierdo, $\sin x$ no tiene dimensiones, es la relación de las longitudes de dos lados de un triángulo. En el lado derecho, estamos sumando cantidades de dimensiones variables. Según tú, sumar radianes a radianes cúbicos sería como sumar pulgadas a pulgadas cúbicas o acres a acres cúbicos.
0 votos
Los radianes no son adimensionales, simplemente no tienen dimensionalidad espacial o temporal. En álgebra compleja, hay tanto ángulo como fase, y estos se siguen (¡o deberían seguirse!) a través de las ecuaciones de uno.