El número total de posibilidades para una ecuación

Question

Necesito encontrar el número de posibilidades de que la siguiente ecuación:

$$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{10} \leq 70$$

Cada variable es un entero no negativo.

Traté de simplificar la cuestión, hasta el punto de encontrar el número de posibles soluciones para cada ecuación seperatly:

$$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{10} = 70,$$ which is ${79}\seleccione{10}$.

$$x_1 + x_2 + x_3 \cdots + x_{10} = 69,$$ which is ${78}\seleccione{10}$.

$$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{10} = 68,$$ which is ${77}\seleccione{10}$, y así sucesivamente.

Entonces pensé que la adición de todos estos juntos. Esto parece un poco demasiado trabajo teniendo en cuenta que el libro de texto de la solución es: ${80}\choose{10}$, y me parece que no puede averiguar la idiomáticas forma de acercarse a este tipo de preguntas.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

¿Sabe usted estrellas y barras? Normalmente se soluciona esto mediante la introducción de una variable adicional, decir $w$, y considerar soluciones para

$$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{10} +w = 70$$

Se puede ver cómo las soluciones de la desigualdad corresponden a las soluciones para la igualdad de arriba?

Answer 2

Aquí hay otra manera de utilizar su método original. El número de soluciones que $$ x_1+x_2+\dotsb+x_{10}=r\quad (0\leq r\leq 70) $$ es $$ \binom{r+10-1}{10-1}=\binom{r+9}{9}. $$ Por lo tanto el número de soluciones a $$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{10} \leq 70$$ es $$ \sum_{i=0}^{70}\binom{r+9}{9}= \sum_{k=9}^{79}\binom{k}{9} =\sum_{k=9}^{79}\left[\binom{k+1}{10}-\binom{k}{10}\right] =\binom{80}{10} $$ como la suma de los telescopios.