Cómo demostrar la desigualdad $\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n-1}\geq \log (2)$ ?

Question

Demuestra la siguiente desigualdad:

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n-1}\geq \log (2)$$

He probado a experimentar con diferentes valores de $n$ y ver que la suma parece converger a $\log(2)$ como $n$ se hace más grande, pero estoy teniendo algunas dificultades para probar esta desigualdad. Me doy cuenta de que probablemente tiene que ver con el hecho de que $\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$ pero no puedo encontrar una solución adecuada.

El tema de estos problemas es que generalmente se pueden resolver con algún tipo de dibujo o ayuda visual, y no sé qué puedo dibujar para que esta solución sea más clara.

Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Utiliza la suma de Riemann. Obsérvese \begin {align} \frac {1}{n} + \ldots + \frac {1}{2n-1} \geq \int ^{2n}_{n} \frac {1}{x}\a dx = \log 2n- \log n = \log 2. \end {align}

Answer 2

Es bien sabido que se cumple la siguiente desigualdad: $$e^x\geqslant x+1\geqslant 0,\ \forall\ x\geqslant 0.$$ Así que tenemos $$\displaystyle\prod_{i=n}^{2n-1}e^{{1\over i}}\geqslant \prod_{i=n}^{2n-1}\big(1+{1\over i}\big)=\prod_{i=n}^{2n-1}{i+1\over i}={2n\over n}=2.$$ Así, $$\displaystyle\sum_{i=n}^{2n-1}{1\over i}\geqslant \ln2.$$