No tengo mucha experiencia con el álgebra abstracta. Sólo estoy versado en álgebra lineal y espacios vectoriales, y han tenido una pequeña introducción a las álgebras sobre los campos.
Sin embargo, esta cuestión es una cuestión puramente terminológica uno: Cuando la gente dice "álgebra" ¿es que siempre significa "un álgebra sobre un campo"?
Si no, ¿qué otras cosas puede referirse?
Muy a menudo, que es lo que se quiere decir, sí: álgebras sobre los campos. A menudo, pero no siempre, asociativa.
Sin embargo, en álgebra conmutativa también es común hablar de (asociativa, con identidad) álgebras sobre anillos conmutativos. En este caso, un anillo de $A$ (conmutativa o no) se llama una $R$ álgebra sobre un anillo conmutativo $R$ si hay unital anillo homomorphism de $R$ en el centro de la $A$.
En mi experiencia, el último es el de mayor alcance que es de uso común, y no es inusual. "Sobre un campo" probablemente se utiliza con más frecuencia, sin embargo.
En el campo del álgebra universal, "álgebra" puede referirse a un conjunto con las operaciones de los distintos arity, pero este uso es bastante aislado en el campo.
Hay algunas personas en las alas que creo que debería decir algo acerca de no asociativo álgebras y álgebras de sin identidad. La descripción usando homomorphisms no traje para la definición de tales álgebras, pero la habitual "describir-la-acción-con-axiomas" de la definición de las obras. De nuevo, sin contexto, es muy poco probable que alguien iba a llamar de estos, simplemente "álgebras," pero probablemente en lugar de añadir más adjetivos.
Por ejemplo álgebras de Lie y álgebras de Jordan son importantes nonassociatve álgebras, pero que probablemente nunca ser conocido simplemente como "álgebra" donde ellos se encuentran.
Álgebras booleanas son otro caso muy interesante. Una vez más, probablemente nunca encontrar estos llamados simplemente "un álgebra". Lo que hace que el caso muy interesante es que tienen más de una identidad como un álgebra. Primero y ante todo, es probable que se ajuste a la categoría de "tipo descrito por álgebra universal" se ha mencionado anteriormente, el uso de reunirse y unirse, una celosía de la teoría de la descripción. Sin embargo, también tiene una natural booleano anillo de la estructura, y este anillo es en realidad una subalgebra de $\prod_{i\in I}F_2$ para un conjunto de índices $I$.
Esta es una lista de la mayoría de las descripciones comunes de un "álgebra", pero no es exhaustiva.
1 . Un álgebra de conjuntos.
Una colección de subconjuntos de un conjunto dado cerrada bajo uniones y complementos.
2 . Un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo.
Deje $R$ ser un conmutativa, no necesariamente unital anillo. Un álgebra de más de $R$ es un anillo de $A$, no necesariamente conmutativo o unital, junto con un $R$-módulo de estructura en $A$, de tal manera que la multiplicación escalar por $R$ es compatible con el anillo de la multiplicación en $A$:
$$r \cdot (a_1a_2) = (r \cdot a_1)a_2 = (a_1 \cdot r a_2)$$
Si $A$ tiene una identidad, luego darle a la estructura de una $R$-álgebra en $A$ es lo mismo que dar un anillo homomorphism $R \rightarrow A$ cuya imagen se encuentra en el centro de la $A$: dada la $R$-módulo de estructura en $A$, uno define el homomorphism $R \rightarrow A$ mediante el envío de $r \in R$$r \cdot 1_A$.
Si $R$ tiene una identidad, a continuación, $A$ es generalmente asumida ser unitario como una $R$-módulo, es decir, $1_R \cdot a = a$ todos los $a \in A$. Si tanto $R$ $A$ tienen una identidad, entonces decir $A$ es unitaria como un $R$-álgebra es lo mismo que decir que la homomorphism $R \rightarrow A$ envía $1_R$$1_A$.
Si $A$ $R$ son ambos anillos conmutativos con identidad, entonces unitaria $R$-álgebra estructura en $A$ es la misma cosa como un anillo homomorphism $R \rightarrow A$ que envía a $1_R$$1_A$. Esta es la forma en álgebras son típicamente entendido en álgebra conmutativa.
3 . Mentira álgebra sobre un campo.
Deje $k$ ser un campo, y deje $\mathfrak g$ ser un conjunto con dos operaciones de $+$ $\cdot$ la satisfacción de todos los axiomas de una (no necesariamente conmutativo o unital) del anillo, con la excepción de $\cdot$ no se asume como asociativo. Escribir $[X,Y]$$X \cdot Y$. Supongamos que la siguiente ecuación tiene para todos los $X, Y, Z \in \mathfrak g$:
$$[X,Y] + [Y,Z] + [Z,X] = 0$$
La estructura de $\mathfrak g$, junto con un unitario $k$-módulo de estructura en $\mathfrak g$, de tal manera que la multiplicación escalar de $k$ es compatible con la multiplicación $[-,-]$$\mathfrak g$:
$$c \cdot [X,Y] = [c \cdot X,Y] = [X, c \cdot Y]$$
se llama una Mentira álgebra $k$.
Ejemplos:
1 . Los conjuntos de Borel de un espacio topológico $X$. Estos son subconjuntos de a $X$ obtenido por tomar contables de los sindicatos y de los complementos de bloques abiertos en todas las combinaciones posibles.
2 . Deje $R = \mathbb C$, y deje $G$ ser un topológico de Hausdorff grupo con la propiedad de que en cada barrio de la identidad contiene un pacto abierto subgrupo de $G$. A continuación, $G$ es localmente compacto y tiene una medida de Haar $\mu$. El $\mathbb C$-espacio vectorial $C_c^{\infty}(G)$ localmente constante y de forma compacta las funciones soportadas $G \rightarrow \mathbb C$ puede ser hecho en un unital $\mathbb C$-álgebra mediante la definición de la multiplicación como la convolución:
$$f \ast g(x) = \int\limits_G f(y)g(y^{-1}x) d\mu(y)$$
Este es el llamado Hecke álgebra de $G$. Usualmente no es conmutativa. Si $G$ es compacta, es unital.
3 . Deje $\mathfrak g$ $k$- espacio vectorial de transformaciones lineales de un espacio vectorial $V$ a sí mismo. A continuación, $\mathfrak g$ es una Mentira álgebra $k$ si definimos $[\phi,\psi] = \phi \circ \psi - \psi \circ \phi$.
Los campos son muy especiales anillos conmutativos con unidad (que voy a llamar a los anillos). Una definición general es: si $A$ es un anillo, un $A-$álgebra es un anillo de $B$ junto con un anillo de homomorphism $f:A \to B$ (esto es, por ejemplo, la definición del clásico "Álgebra Conmutativa" por Atiyah y Macdonald). Tenga en cuenta que entonces podemos definir una "acción" de $A$ $B$ través $a\cdot b:=f(a)b$, por lo que en realidad hay más definiciones explícitas, pero esta es la más sucinta sé. Tenga en cuenta que si $A$ es un campo, $f$ es inyectiva, por lo que un $A-$álgebra (para $A$ campo) es sólo un anillo que contiene a $A$ como un sub-anillo.
Tenga en cuenta que hay muchos de los más comunes e importantes casos de (en general) no conmutativa álgebras así! Álgebras de Lie, álgebras de Hopf y así sucesivamente. Por lo que requieren una definición diferente. Pero por lo general son considerados en un entorno diferente.
Realmente depende del contexto: la mayoría de las veces que se usa para álgebras de más de anillos y campos. A veces se la utiliza en la mayoría de contexto general de álgebra universal como una palabra genérica para hablar de un modelo para una teoría algebraica: por ejemplo, los grupos son álgebras para el (sintáctica) de la teoría de grupos.
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