Resolución de 9 hijos de puzzle

Question

El siguiente rompecabezas de la matemáticas :

There is a person with 9 sons, 
they all are separated by equal amount of years (equal intervals). 
if the age of the person squared is the same as 
the sum of the squares of his own kids.
how old are his kids.

Yo sólo podía resolver esta fuerza bruta. estaba buscando a ver si hay una analítica manera de acercarse a este.

donde conseguí:

• $a$ = primeros niños de la edad de
• $b$ = intervalo de
• $M$ = Los padres de edad $$\sum _{k=0}^8 (a+b k)^2=9 a^2+72 a b+204 b^2 = M^2$$

desde aquí sólo puedo ir por fuerza bruta... que los rendimientos de $a=2$, $b=3 \implies M=48$

¿alguien sabe cómo solucionar esto sin entrar en todos los valores ?

Answer 1

En su ecuación, si se soluciona para $a$ consigue:

$$a = \frac{\sqrt{M^2-60b^2}}{3} - 4b$$ Si estamos buscando entero soluciones, entonces esto significa que $M^2-60b^2$ debe ser un cuadrado. También debe ser divisible por $3$, por lo que, al menos, sólo necesitas buscar más de (pseudo-)tripletas de la forma: $$9x^2 + 60b^2 = M^2$$ Por otra parte desea $a$ a ser positivas, por lo que requieren $x \ge 4b$. Sólo hay una primitiva triple con esta propiedad que los rendimientos de $\{a,b,M\} = \{2,3,48\}$. Cualquier múltiplo de esta triple también el trabajo ($\{4,6,96\}, \{6,9,144\}, \ldots$).

Answer 2

Idea:

Se puede simplificar un poco las cosas si al medio kid ser $n$ años de edad, con una diferencia de $k$. A continuación, las edades de los niños se $n-4k, n-3k, n-2k, n-k, n, n+k, n+2k, n+3k, n+4k$. La suma de los cuadrados de las edades es $9n^2+60k^2$.

El papá de la edad es $\sqrt{9n^2+60k^2}$.

Creo que se puede encontrar valores razonables con bastante rapidez que dar un realista de valor entero de la solución.

Answer 3

Todos los coeficientes de la izquierda son múltiplos de $3$, lo $M$ debe ser un múltiplo de $3$, vamos a $M=3N$. Ahora tenemos $a^2+8ab+\frac {68}3b^2=N^2$ $b$ debe ser un múltiplo de $3$. Es bastante razonable para $b$ a la igualdad de $6$, como los hijos se extendería $48$ años, pero puedes intentarlo si quieres. Hemos cortado el caso de que el trabajo. Nada más sale de mí. En este punto, sólo quiero hacer una hoja de cálculo con los valores posibles para $a$ y encontrar que uno le da a una plaza para $N^2$

Answer 4

La discriminación de la ecuación $$9a^2+72ab+204b^2-M^2=0$$ es $$4(M^2-540b^2)$$ por lo $M^2-540b^2$ debe ser un cuadrado perfecto, digamos, $n^2$. Por lo tanto, $$540b^2=M^2-n^2=(M+n)(M-n)$$

La media aritmética de $M+n$$M-n$$M$, y es mayor que la media geométrica, $\sqrt{540b^2}>23b$. Desde $M$ es la edad de un hombre, $b\le 5$.

Desde $M+n$ $M-n$ tienen la misma paridad, ambos deben ser aún, así que podemos escribir $$135b^2=\frac{M+n}2\cdot\frac{M-n}2$$ y $\dfrac{M-n}2$ es un divisor de a $135b^2$ menor que $b\sqrt{135}$.