Cuántos ángulo recto triángulos puede un círculo?

Question

Aquí es lo que recuerdo de la cuestión de CNML Grado 11, 2010/2011 Concurso #3, Pregunta 7:

Existen 2010 puntos en un círculo, espaciados de manera uniforme. Ford Prefect* escoger al azar a tres puntos en el círculo. Él le* conecte estos puntos para formar una figura. ¿Cuál es la probabilidad de que la forma resultante * formar un ángulo recto del triángulo?

Me respondió $\frac{1}{4} = 25\%$, pero eso es probablemente incorrecta. (¿Correcto?)

Cuando llegué a casa, pensé en mi cabeza, y me puse esto:

$\frac{2010 * (2010/1005)}{2010 \choose 3}$

$\frac{2020050}{1351414120} = \frac{3015}{2017036} = 0.149476756984010201\%$

Probablemente estoy equivocado ...otra vez. Puede alguien decir cómo llegar a la respuesta correcta (si no me equivoco :) )?

*en el pasado, del futuro, del presente perfecto presente tiempo doble en la ondulación fluctuater byer doininger del pasado futuro continuo...

EDIT: di cuenta de mi error en la copia de la pregunta.

Answer 1

Vamos a los puntos de $P_1$, $P_2$, y $P_3$. Dejando $P_1$ ser arbitraria, podemos ganar si $P_2$ es el punto diametralmente opuesto a $P_1$, la probabilidad de $1/2009$. De lo contrario, con una probabilidad de $2008/2009$, aún podemos ganar si $P_3$ es diametralmente opuesto a cualquiera de las $P_1$ o $P_2$, que es con probabilidad de $2/2008$. Por lo que la probabilidad de ganar es $1/2009 + (2008/2009)(2/2008) = 3/2009$.

También se puede obtener de la siguiente manera: El número de posibles ganancias es el número de diámetros veces el número de puntos restantes, o 1005*2008. El número de posibles triples es $2010\choose 3$. Dividiendo la primera por la segunda da $3/2009$.

Más fácil aún: La probabilidad de que un determinado par de puntos se encuentran en un diámetro de es $1/2009$. Con tres puntos, tiene tres pares, por lo tanto $3/2009$. Aquí se trata de ACEPTAR para agregar probabilidades porque no es posible tener superponen; si uno de los pares se encuentra en un diámetro, no hay otro par puede acostarse sobre un diámetro.

Por CIERTO, no estoy de acuerdo con el hilo de comentarios que dice que debemos considerar la posibilidad de que los puntos no son distintas. A veces puede haber una ambigüedad, pero en el lenguaje común, "elegir tres puntos desde 2010 puntos" significa "sin reemplazo". Por ejemplo, yo no soy incorrecta en decir que el $n\choose r$ es el número de maneras de elegir a $r$ objetos de un conjunto de $n$. Aunque tengo que admitir que si yo fuera de clasificación de la prueba y este problema se señaló a mí, yo podría aceptar el "reemplazo" de respuesta así.

La única alternativa de respuesta que podría aceptar es 1, es decir, que los puntos son ciertos mentir en un triángulo rectángulo. Después de todo, es que Ford Prefect, así que no tengo forma de saber si la Improbabilidad Infinita Unidad ha sido activado.

Answer 2

Sugerencia: Usted puede elegir la $3$ ${2010}\choose {3}$ maneras. Para formar un ángulo recto de un triángulo, tenemos que elegir un par de diametralmente opuesto puntos (cómo muchas maneras de hacer esto?) y, a continuación, cualquier tercer punto se forma un ángulo recto del triángulo con el elegido par.

Answer 3

Simplificar. Existen 2010 puntos, pero si usted comienza con cuatro puntos en su lugar y pick 3 al azar, puede ver que la probabilidad de obtener un triángulo rectángulo es 1 (empate fuera de la ayuda). Usted puede hacerlo con seis puntos, y si nos fijamos en la probabilidad de que ambas figuras se puede crear una fórmula para darle la probabilidad de que, independientemente del número de puntos. 3/(n-1), donde n es el número de puntos (creo que tiene que ser, incluso, para que esto funcione). Con cuatro puntos, 3/(4-1) = 1, seis puntos 3/(6-1) = 3/5. Si tienes 2010 puntos, la probabilidad sería de 3/(2010-1) = 3/2009.