Si $X$ toma una distribución gamma, ¿cómo puedo encontrar $X^2$ , $X^3$ ¿ etc.?

Question

Estoy tratando de tomar potencias consecutivas de una Distribución Gamma. Por ejemplo, si

$X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta)$ ,

Me gustaría encontrar $X^2$ , $X^3$ y en general $X^m$ para $m>0$ .

El pdf utilizando la parametrización a escala de la forma es

$f(x;k,\theta) = \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)} \quad \text{ for } x > 0 \text{ and } k, \theta > 0$ .

He empezado a hacerlo trabajando por lo siguiente:

$P(X^m \leq x) = P(-\sqrt[m]{x} \leq X \leq \sqrt[m]{x}) = \int_{-\sqrt[m]{x}}^{\sqrt[m]{x}} \frac{t^{k-1}e^{-\frac{t}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)} \,dt$ .

Entonces, $\quad f_{X^m}(x) = \frac{d}{dx}\int_{-\sqrt[m]{x}}^{\sqrt[m]{x}} \frac{t^{k-1}e^{-\frac{t}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)} \,dt$ $\quad$

que por el Teorema Fundamental del Cálculo equivale a:

$\dfrac{(\sqrt[m]{x})^{k-1}e^{-\dfrac{\sqrt[m]{x}}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)}\cdot(\sqrt[m]{x})'-\dfrac{(-\sqrt[m]{x})^{k-1}e^{-\dfrac{-\sqrt[m]{x}}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)}\cdot(-\sqrt[m]{x})'$ .

Después de esto, estoy atascado porque hay muchos casos diferentes a considerar, como cuando $m$ es un número entero, etc.

¿Alguien podría decirme si mi estrategia es correcta? Gracias.

Answer 1

Su estrategia fracasará. Poderes de $X$ seguir Distribuciones Gamma generalizadas . Sus densidades vienen dadas por

$$f(x; k, \gamma, 1) = \frac{1}{\Gamma (k)} x^{\gamma k} e^{-x^{\gamma }} \left(\gamma \frac{dx}{x} \right).$$

(El tercer parámetro, aquí ajustado a un valor unitario $\sigma=1$ es un parámetro de escala). Para la potencia $m$ de $X \sim \Gamma(k)$ el parámetro de forma es $\gamma = 1/m$ . Todo esto se hace evidente cuando se piensa en $x^\gamma$ como si fuera otra variable, digamos $u$ y observe que

$$\frac{du}{u} = \frac{d(x^\gamma)}{x^\gamma} = \gamma \frac{d x}{x}.$$

Los factores restantes, $u^k e^{-u}/\Gamma(k)$ , dan la FDP de una distribución Gamma (con respecto a la medida $du/u$ ).

La cuestión que nos ocupa es si para cualquier $k$ es posible encontrar otros parámetros $k^\prime$ y $\sigma^\prime$ tal que $f(x,k, \gamma, \sigma)=f(x;k^\prime, 1, \sigma^\prime)$ , donde $\gamma = 1/m$ para alguna integral $m \gt 1$ : eso es lo que significaría para $X^m$ para tener una distribución Gamma (ordinaria).

Podemos resolver esto mirando los momentos. La integración muestra que los momentos (no centrales) de la distribución Gamma generalizada son

$$\mu_i = \sigma^i\frac{\Gamma(k+m i)}{\Gamma(k)}.$$

Para los valores integrales de $m$ sus relaciones sucesivas son

$$\frac{\mu_{i+1}}{\mu_i} = \frac{\sigma^{i+1}\Gamma(k + mi + m)}{\sigma^i\Gamma(k + m i)} = \sigma(k + mi)(k+mi+1)\cdots (k+mi+m-1).$$

Intentar resolver ecuaciones (o más bien, demostrar que no tienen soluciones) que impliquen estas fórmulas parece complicado. En su lugar, considera los valores límite

$$\lim_{i\to \infty}\frac{\mu_{i+1}}{i\mu_i}.$$

Para $m=1$ (una verdadera distribución Gamma) este es el valor límite de $\sigma(k+i)/i$ , obviamente igual a $\sigma$ mientras que para $m\gt 1$ este es el valor límite de $\sigma(k+mi)\cdots(k+mi+m-1)/i$ , que (siendo de orden $i^{m-1}$ ) diverge. Por lo tanto, la distribución de $X^m$ para $m\gt 1$ (e integral) no puede tener los mismos momentos que cualquier función Gamma posible, demostrando que no es una función Gamma.

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Debe quedar claro que el generalizado La familia de la distribución Gamma es efectivamente cerrada bajo la toma de potencias (positivas).