Aplicaciones de los números perfectos

Question

Estoy preparando una charla sobre los primos de Mersenne, los números perfectos y los primos de Fermat.

Para intentar motivar todo esto, me gustaría ofrecer una aplicación de estas cosas.

Se me ocurrió esto:

Aplicaciones de los números de Mersenne: enteros con/sin signo, torres de Hanoi

Aplicaciones de los números de Fermat: relación con los polígonos construibles

Pero para los números perfectos lo mejor que pude encontrar es: La tierra fue creada en 6 días por Dios porque el 6 es perfecto. Además, el ciclo de la luna es de 28 días.

Para 6: $\log(1+2+3)=\log(1)+\log(2)+\log(3)$ Esta página ( http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html ) tiene mucha historia pero ninguna aplicación real.

¿Puede alguien dar la aplicación de los números perfectos?

Answer 1

El Giro Mersenne [1] es un buen generador de números pseudoaleatorios basado en un primo de Mersenne. Al parecer, también existen otros sistemas que utilizan primos de Mersenne para la generación de números pseudoaleatorios. [2]

En la complejidad de la comunicación, los primos de Mersenne permitieron un gran avance en los esquemas de recuperación de información privada [3][4], con un resultado asintótico dependiente de su infinitud.

La transformada teórica de números, un enfoque alternativo a las transformadas rápidas de Fourier que utiliza aritmética modular en lugar de números de punto flotante, es más eficiente cuando se utiliza GF (p) donde p es un primo de Mersenne. [5]

La FEP es ofreciendo premios para descubrir grandes primos, y los primos de Mersenne han ganado los dos primeros. También son los candidatos más probables para los dos premios restantes, ya que son más fáciles de demostrar que son primos que otros números de tamaño similar.

El GIMPS se utiliza a menudo para probar nuevas configuraciones informáticas. En este caso, se descubrió un error en la familia de procesadores Skylake de Intel. [6]

Las GPUs se prueban de forma similar con los métodos Mersenne-prime. [7]

Solinas [8][9] mostró cómo utilizar números cercanos a los primos de Mersenne para realizar reducciones modulares de alta velocidad, adecuadas para un criptosistema rápido. Granger y Moss [9] muestran una generalización alternativa que mejora estos beneficios, especialmente para la multiplicación modular.

Harvey, van der Hoeven y Lecerf [11] dan un algoritmo de multiplicación (una extensión del algoritmo de Fürer) que es el más rápido que se conoce, y muestran que puede mejorarse aún más dado "un ligero debilitamiento de la conjetura Lenstra-Pomerance-Wagstaff" sobre la distribución de primos de Mersenne. Probablemente el algoritmo no es práctico para los tamaños de números que se suelen utilizar, pero los avances en la multiplicación son muy importantes, ya que son la base de muchos algoritmos modernos.

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[1] M. Matsumoto y T. Nishimura, Mersenne Twister: Un generador de números pseudoaleatorios uniformes equidistribuidos en 623 dimensiones , ACM Trans. on Modeling and Computer Simulation 8 :1 (1998), pp. 3-30.

[2] Lih-Yuan Deng, Generalized Mersenne Prime Number and Its Application to Random Number Generation, Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods (2004), pp. 167-180.

[3] Sergey Yekhanin, Nuevos códigos decodificables localmente y esquemas de recuperación de información privada , Coloquio electrónico sobre complejidad computacional Informe nº 127 (2006)

[4] Kiran S. Kedlaya y Sergey Yekhanin, Códigos localmente decodificables a partir de subconjuntos agradables de campos finitos y factores primos de los números de Mersenne (2007)

[5] I. S. Reed y T. K. Truong, Algoritmos rápidos para calcular las transformaciones teóricas de los números de Mersenne Informe de progreso del DSN 42-41 (1977).

[6] TechTimes, Los matemáticos descubren un fallo que hace que los chips Skylake se congelen en medio de cargas de trabajo complejas (2016)

[7] Andrew Thall, Pruebas rápidas de primos Mersenne en la GPU (2011)

[8] Jerome A. Solinas, Primas de Mersenne generalizadas (1999).

[9] Jerome A. Solinas, Pseudo-Mersenne Prime, Encyclopedia of Cryptography and Security, 2nd Ed. (2011), p. 992.

[10] Robert Granger y Andrew Moss, Números de Mersenne generalizados revisados (2011)

[11] David Harvey, Joris van der Hoeven, Grégoire Lecerf, Multiplicación de enteros aún más rápida (2014)

Answer 2

He aquí una paráfrasis de una historia que leí una vez (no recuerdo la fuente). En una sociedad antigua, si una persona quería legar un número $n$ de artículos, siempre legaría en partes alícuotas (divisores propios de $n$ ), pero no hay dos herederos que reciban las mismas partes alícuotas. Así, por ejemplo, si un hombre tuviera 10 camellos, podría legar 1, 2 o 5 camellos a tres herederos. (No sé qué ocurriría con los camellos restantes, ya que no se permite dar la misma parte alícuota a dos personas diferentes). Otra persona tenía 12 lingotes de oro. Por tanto, podía legar a sus herederos 1, 2, 3, 4 o 6 lingotes de oro. Sin embargo, esto significa que si tuviera cinco herederos, no tendría suficientes lingotes de oro para repartir todas las partes alícuotas. Por último, otra persona tenía 6 palacios. Así que esta persona podría legar 1, 2 o 3 palacios. Esto funciona perfectamente para tres herederos: el total de las partes alícuotas coincide exactamente con la cantidad a regalar.

Así que la aplicación de los números perfectos es que todas las partes alícuotas pueden ser regaladas y utilizar exactamente el número perfecto de cosas que se regalan.

Lo siento... lo mejor que pude hacer.