Volumen de intersección de la $n$ -bola con un hiperplano

Question

Dejemos que $\mathcal{B}_n$ sea el $n$ -bola de radio $r>0$ y el centro $\mathbf{x}_0$ es decir, $\mathcal{B}_n=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\colon \|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| \leq r\}$ .

El volumen de $\mathcal{B}_n$ viene dada por $$ V_n(r)=\frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} r^n. $$

Además, dejemos que $\mathcal{H}:\mathbf{w}^\top\mathbf{x}+b=0$ sea un hiperplano en $\mathbb{R}^n$ . Me gustaría encontrar el volumen de la fracción de $\mathcal{B}_n$ "cortar" por $\mathcal{H}$ .

Si $d$ es la distancia entre el centro de la bola, $\mathbf{x}_0$ y el hiperplano, $\mathcal{H}$ y luego el volumen deseado, $V_\mathcal{H}$ es

$$ \begin{cases} 0 & \text{if } d\ge r, \\[8pt] \dfrac{V_n(r)} 2 & \text{if } d=0, \\[8pt] 0 < V_{\mathcal H} \le V_n(r) & \text{if } d<r. \end{cases} $$

Es decir, si $d< r$ el volumen deseado viene dado por $V_\mathcal{H}=q(\mathbf{w},b,\mathbf{x}_0,r)V_n(r)$ . Me gustaría encontrar esto $q$ en función de $\mathbf{w}$ , $b$ , $\mathbf{x}_0$ y $r$ . Necesito utilizar esta fórmula en un proceso computacionalmente caro, por lo que necesito que sea "barata". ¿Alguna idea? Muchas gracias.

Answer 1

Mira esta foto, por la distancia $d$ se puede utilizar la fórmula $d=|w\cdot x_0+b|/|w|$ . Ahora $r_1=\sqrt{r^2-d^2}$ . Entonces el volumen (la parte roja) es sólo la integración del volumen de la interfaz $S_1$ con radio $r_1$ a la interfaz con radio $r$ .

Answer 2

Suponiendo que se quiera calcular el $n$ -volumen dimensional de la intersección del semiespacio con la bola.

En primer lugar, reduzca el problema a una "forma estándar". Supongamos que $\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n$ es la base ortonormal en $\mathbb R^n$ , y $\mathbf e^1,\dots,\mathbf e^n$ es dual a ella. Mover y girar el espacio que el medio espacio se convierte en

$$\{\mathbf x\in\mathbb R^n : \mathbf e^n(\mathbf x) = x^n \ge 0\}$$

y el centro de la bola

$$\mathbf r_0 = - \lambda \mathbf e_n \text{ where } 0 \le \lambda \le r$$

El balón se convierte ahora en

$$(\mathbf x + \lambda \mathbf e_n)^2 \le r^2$$

En forma de coordenadas

$$|x^1|^2 + \cdots + |x^{n-1}|^2 + |x^{n} + \lambda|^2 \le r^2$$

$$|x^{n} + \lambda|^2 \le r^2 - |x^1|^2 - \cdots - |x^{n-1}|^2$$

El volumen $V'_n$ es sólo la parte de la bola contenida en el semiespacio definido por el $n$ -a hiperplano de coordenadas (es decir, por encima de él). Y puede calcularse como la integral de la función

$$f(x^1, \dots, x^{n-1}) := x^{n} = \sqrt{r^2 - |x^1|^2 - \cdots - |x^{n-1}|^2} - \lambda$$

sobre el $n-1$ -disco/balón de dimensiones $D$ cuyo radio es $r' = \sqrt{r^2 - \lambda^2}$ . Así que

$$V'_n = \int_D \sqrt{r^2 - |x^1|^2 - \cdots - |x^{n-1}|^2}dx^1\dots dx^{n-1} - \lambda \int_D dx^1\dots dx^{n-1}$$

$$V'_n = \int_D \sqrt{r^2 - |x^1|^2 - \cdots - |x^{n-1}|^2}dx^1\dots dx^{n-1} - \lambda V_{n-1}(r')$$

Esta integral, al igual que para el caso del volumen de la bola entera, puede reducirse a $n-1$ -versión dimensional. Y, por lo tanto, puede calcularse mediante una fórmula recursiva.