Datos sobre los submodelos elementales

Question

En el artículo de "Aspero, Larson, Moore - Forcing Axioms and the CH" se afirman tres hechos como bien conocidos. Como no los he leído antes, no me parecen tan evidentes. Tal vez unas buenas referencias a estos hechos ayudarían o tal vez alguien sería tan amable de explicarlos brevemente.

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Los tres hechos mencionados son (para $\theta, \lhd, \vec{\kappa}, \vec{U}$ como a continuación):

1. Si $M \prec (H(\theta),\in, \lhd)$ et $I \subseteq \kappa_2 \in M$ entonces $\operatorname{cl}(M,I) \prec (H(\theta),\in, \lhd)$ .
2. Sea $i<3, M \prec H(\theta)$ s.t. $U_i, \kappa_2 \in M$ . Si $\eta \in \bigcap (M_\cap U_i)$ entonces $\operatorname{cl}(M, \lbrace \eta \rbrace) \cap \kappa_i$ es una extensión final de $M \cap \kappa_i$ .
3. En las condiciones del hecho 2, sea $I \subseteq \kappa_i$ et $\mu \in M$ regular con $\mu > \kappa_i$ . Entonces $\sup(\operatorname{cl}(M,I) \cap \mu) = \sup(M \cap \mu)$ .

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Para un cardenal suficientemente grande $\theta$ para $P$ deje $\lhd$ sea un buen ordenamiento de $H(\theta)$ . Para una secuencia creciente $\kappa_i (i<3)$ de cardenales $> \omega_2$ et $\ M,I \subset H(\theta)$ con $I \subseteq \kappa_2 \in M$ deje $\operatorname{cl}(M,I)$ denotan el conjunto de valores $g(\eta_0, \dots, \eta_{n-1})$ donde $g$ es una función en $M$ et $\operatorname{dom}(g) = {\kappa_2}^{<\omega}$ y $\lbrace \eta_0, \dots, \eta_{n-1} \rbrace \subseteq I$ finito.

Fijación de $\theta, \lhd, \vec{\kappa}, \vec{U}$ (donde $U_i$ son ultrafiltros normales en cada $\kappa_i$ ), dado que $i<3$ y un $M \prec (H(\theta), \in , \lhd)$ con $\vert M \vert < \kappa_i$ decimos $\lbrace M_\xi \rbrace_{\xi < \kappa_i}$ es el iteración de $M$ en relación con $U_i$ por si acaso $\lbrace M_\xi \rbrace_{\xi < \kappa_i}$ es el único $\subseteq$ -secuencia continua s.t. $M_0=M$ y, $\forall \xi < \kappa_i, \ M_{\xi+1} = \operatorname{cl}(M_\xi, \lbrace \eta_\xi \rbrace)$ donde $\eta^i_\xi = \min(\bigcap (U_i \cap M_\xi))$ .

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Answer 1

1. Utilizaremos el Prueba Tarski Vaught : Sea $\phi$ ser un $\{\in, \lhd\}$ -(nótese que considero $\in$ et $\lhd$ tanto como símbolos formales como conjuntos, en un ligero abuso de la notación) y dejemos que $p \in \operatorname{cl}(M,I)$ sea un parámetro s.t. $$(H(\theta); \in, \lhd) \models \exists x \phi(x,p)$$ (Sólo permitimos un parámetro en $\phi$ pero dejando $p = (p_1, \ldots, p_n)$ reduce el caso general a lo anterior modulo algo de teoría de conjuntos básica).

Según la definición de $\operatorname{cl}(M,I)$ existe una función $g \in M$ , $g \colon \kappa_2^{< \omega} \to M$ et $\overline \mu \in I^{< \omega}$ s.t. $p = g(\overline \mu)$ . Tenemos que demostrar que hay algún $x \in \operatorname{cl}(M,I)$ con $(H(\theta); \in, \lhd) \models \phi(x, g(\overline \mu))$ .

Con este fin $$f \colon \kappa_2^{< \omega} \to H(\theta), \overline \nu \mapsto \min_\lhd \{ x \in H(\theta) \mid (H(\theta); \in, \lhd) \models \phi(x, g(\overline \nu) \}$$ donde $\min_\lhd$ es el mínimo con respecto a $\lhd$ et $\min_\lhd \emptyset := \emptyset$ . $f$ es definible en $(H(\theta); \in, \lhd)$ de $\kappa_2$ et $g$ . En $\kappa_2, g \in M$ tenemos (por Tarski Vaught) $f \in M$ y así $f(\overline \nu) \in \operatorname{cl}(M,I)$ . Según la definición de $f$ $$(H(\theta); \in, \lhd) \models \phi(f(\overline \nu), g(\overline \nu)).$$ Refiriéndonos a la prueba de Tarski Vaught por última vez, esto da como resultado $\operatorname{cl}(M,I) \prec (H(\theta); \in, \lhd)$ .