Una variación de cuántas soluciones enteras hay para $a+b+...=n$

Question

Anoche hubo una pregunta de combinatoria que pensé que podía responder, resulta que no pude (así que descarté mi borrador) pero pensé que podía, ahora quiero saber si me acerqué.

La pregunta consistía en dividir 50 cosas en cualquier número de grupos de 1,2,3,4 o 5 elementos.

Si me preguntaran cuántas soluciones enteras hay para $A+B+C+D+E=10$ digamos que me gustaría llegar a la conclusión de que se "codifica" cualquier solución de este tipo utilizando... digamos X y -s, de modo que "XXX-XXX--XXX-X" denota 3As, 3Bs, 0Cs 3Ds y 1 E, cualquier disposición de 10Xs y 4 guiones es una solución. Así que es simplemente $\frac{14!}{10!4!}$ utilizando el axioma de la elección y tal, estoy contento con este trabajo.

También se puede modificar para calcular cuántas soluciones enteras hay cuando cualquier número es mayor que un determinado valor (sustituyendo algo como $A=a+1$ entonces A>=0 significa a>=1).

Pero no puedo usar esto para resolver A+2B+3C+4D+5E=n, al menos no directamente, he jugado en el papel pero no he encontrado ningún sitio donde ir con esto, ¿estaba en las líneas correctas o es un problema totalmente diferente?

Answer 1

Se pide el número de particiones del número $50$ en partes de tamaño máximo $5$ . Es igual al número de particiones del número $50$ en un máximo de $5$ partes, y es el coeficiente de $X^{50}$ en la serie de potencia $\prod_{i=1}^5\frac1{1-X^i}$ pero no existe una fórmula fácil para estos coeficientes.

Sin embargo, hay mucha literatura sobre el recuento de particiones.

Answer 2

$A+2B+3C+4D+5E=n$ es el mismo problema, y dice que hay que dividir n en grupos de múltiplo de 1, múltiplo de 2 ...hasta múltiplos de 5

Que viene dado por el coeficiente de $x^n$ en la expansión de

$$(1+x+x^2+\cdots)\cdot(1+x^2+x^4+\cdots)\cdot(1+x^3+x^6+\cdots)\cdot(1+x^4+x^8+\cdots)\cdot(1+x^5+x^{10}+\cdots)$$ $$={(1-x)^{-1}}\cdot(1-x^2)^{-1}\cdot(1-x^3)^{-1}\cdot(1-x^4)^{-1}\cdot(1-x^5)^{-1}$$