Permítanme explicar primero el trasfondo de mi pregunta.
Como es sabido, el grupo $SO(n+1)$ actúa transitivamente en la esfera $S^n$ y el estabilizador es el grupo $SO(n)$ de modo que obtenemos una secuencia de fibración $$ SO(n) \to SO(n+1) \to S^n.$$
De hecho, esta fibración es un principal $SO(n)$ -y en realidad puede identificarse con el haz de marcos del haz tangente de $S^n$ es decir, el haz tangente $TS^n$ es el haz asociado a este principal- $SO(n)$ -a lo largo de la representación tautológica de $SO(n)$ en $\mathbb{R}^n$ .
Consideremos ahora el caso especial $n = 4$ . Aquí tenemos un director $SO(3)$ -Asamblea $$ SO(3) \to SO(4) \to S^3.$$ Pero podemos identificar el $S^3$ con $Sp(1)$ el grupo simpléctico que actúa sobre los cuaterniones. Mediante esta identificación $S^3$ se encuentra canónicamente en $SO(4)$ es decir, tenemos una incrustación de grupos topológicos $S^3 \cong Sp(1) \to SO(4)$ .
La teoría estándar de los haces principales nos dice que el haz anterior se divide (topológicamente), lo que significa que existe un homeomorfismo $$ SO(4) \cong SO(3)\times S^3 $$ en particular, existe un mapa continuo $SO(4) \to SO(3)$ (que no es un morfismo de grupos de mentira).
Es bien sabido que el tipo de homotopía $BSO(n)$ representa el functor de $n$ -y a través de la construcción de la función de embrague el grupo $SO(n)$ representa el functor de $n$ -de los haces vectoriales sobre las suspensiones de los espacios. Por lo tanto, el mapa anterior $SO(4) \to SO(3)$ nos dice que existe una transformación natural entre el functor de rango $4$ haces vectoriales sobre suspensiones al functor de rango $3$ paquetes vectoriales sobre suspensiones.
¿Alguien conoce una construcción geométrica de esta transformación, de la que sólo entiendo la teoría de la homotopía?
Cualquier idea o referencia es muy apreciada.
