He estado trabajando en el siguiente problema, sin éxito hasta el momento:
"Vamos a $N$ ser finita mínima subgrupo normal de un grupo de $G$, y supongamos $N$ tiene la propiedad de que cada simple imagen homomórfica es abelian. Mostrar que $N$ es abelian."
Me dice que use el resultado del problema anterior, "Si $H \le G$, $G' \le H$ fib $H \triangleleft G$ $G/H$ es abelian."
($G'$ es la derivada de los subgrupos de $G$)
Aquí están algunos de mis pensamientos hasta el momento:
Parece que el natural subgrupo a considerar sería la $N \le G$. Desde $G' \triangleleft G$ pero $N$ es mínimo normal, $G' \not\le N$, lo que implica que (desde que asumimos $N \triangleleft G$) $G/N$ no es abelian. Si esto nos lleva a la prueba, yo desde luego no veo cómo lo hace.
En general, para mostrar que un subgrupo es abelian, pudimos demostrar que $N'$ es trivial. También podríamos establecer como la imagen homomórfica de algunos abelian grupo o subgrupo, pero en este problema parece que sería una preimagen, pero luego abelian-ness no puede ser conservado (considerar el cero homomorphism de un no-grupo abelian).
Realmente agradecería una PISTA sobre dónde ir con esto. Yo también agradecería cualquier comentario y discusión cualquier persona tiene para ofrecer en cómo ir sobre el pensamiento acerca de esto (y lo mismo vale para todas mis preguntas), porque siento que esto es realmente lo que me falta experiencia. Después de haber asistido real conferencias muy poco, me siento como que realmente no sé cómo a pensar acerca de los problemas.
Gracias por la ayuda, como siempre.
