La convergencia de una secuencia

Question

$$\huge{{\sqrt2},{\sqrt2}^{\sqrt2},{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{\sqrt2}},{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{\sqrt2^{\sqrt2}}},\cdots}$$ I want to show the sequence converges to $2$

En primer lugar me parcela $f(x)=\displaystyle{\sqrt2}^x ,g(x)=x$, cifra que se me muestre $f(x)=g(x)$ tiene dos raíz de $x=2,4$ luego de la parcela $\displaystyle y={\sqrt2},{\sqrt2}^{\sqrt2},{\sqrt2}^{\sqrt2^{\sqrt2}},...$ me demuestran que la $x=2$ es punto de convergencia . Si escribo ${\sqrt2}^x=x$ a continuación, poner $x$ l.h.s voy a tener ${\sqrt2}^{\sqrt2^x}=x$ así que esta es mi manera $$\displaystyle{{\sqrt2}^x=x\\{\sqrt2}^{{\sqrt2}^x}=x\\ {\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{x}}}=x\\ {\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{x}}}}=x\\\vdots \\{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{\cdots}}}}=x\2}$$

(1) Estoy en lo cierto ?
(2) ¿existe otro método para encontrar la convergencia ?

Gracias De antemano.

Answer 1

La secuencia generada por $a_0=\sqrt{2}$ $a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_n}$ es creciente y $a_n<2$ garantiza $a_{n+1}<2$, por lo tanto es limitado y convergente a su supremum. El punto límite ha de cumplir con $L=\sqrt{2}^L$$L\leq 2$, por lo tanto, el límite es de $\color{red}{2}$ como se esperaba.

Answer 2

De Paul Halmos "Problemas para el Matemático Jóvenes y Viejos":

En realidad sólo hay una interpretación sensata de los tres puntos en ${\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{\cdots}}}}$ que indican que la torre debe ser continuado indefinidamente, es decir, como un límite. Lo que se quiere decir es que debemos formar finito torres como ${\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{\cdots^{\sqrt2}}}}}$.

hacen más y más, y, a continuación, tratar de dejar las alturas tienden a infinito. Más explícitamente: escribir $x_1$ =$\sqrt2$, y luego, por cada positivo entero n, definimos $x_{n+1}$${\sqrt2}^{x_n}$ ; la pregunta es si o no la secuencia de {$x_n$} converge, y, si es así, para qué. El natural supongo que sería parece ser que no---¿cómo podría él convergen?

Una pregunta es obviamente relevante: ¿qué tipo de una función de x ¿la expresión ${\sqrt2}^x$definir? Respuesta: una monótona creciente de la función. Es decir: si x < y, entonces ${\sqrt2}^x$<${\sqrt2}^y$. No está claro? Si hay alguna duda acerca de esto, tomar el logaritmo de ambos lados de la desigualdad, o, más precisamente, mira el resultado de la formación que el logaritmo, de acuerdo en que es una afirmación correcta, y luego su forma exponencial.

Dos consecuencias se derivan de la monotonía creciente carácter de ${\sqrt2}^x$. Una de ellas es que la secuencia de ${x_n}$ es cada vez mayor (una obvia de inducción), y la otra es que la sucesión está acotada desde arriba por 2. A ver la última consecuencia, sustituir la parte más alta de ${\sqrt2}$ en la torre ${\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{{\sqrt2}^{\cdots^{\sqrt2}}}}}$

por 2, obteniendo así un número mayor, y observar que el resultado de los telescopios a la baja. (Es decir, reemplazar lo que ahora son los dos mejores exponentes, es decir,${\sqrt2}^2$, por el valor que ellos dan, a saber, el 2, y luego continuar hacia abajo.) Estas dos consecuencias implican la conclusión: el secuencia ${x_n}$ es convergente para algunos límite inferior o igual a 2. Puede que el límite de ser evaluado? Seguro-fácil. Llamamos t, de modo que t=lim $x_n$. De ello se sigue que

${\sqrt2}^t$=${\sqrt2}^{lim x_n}$=lim ${\sqrt2}^{x_n}$=$lim x_{n+1 }$=$lim x_n$=t

o, tirar los pasos y mantener sólo la conclusión, ${\sqrt2}^t$= t.

Esta ecuación puede ser resuelto por la inspección: tiene las soluciones obvias 2 y 4. Esto último no es posible, porque ya sabemos que t $\leqq2$...así que la conclusión es que t = 2

Answer 3

$x={\sqrt2}^{{\sqrt2}^{\sqrt2^{\sqrt2}}}\cdots$

$\implies x={\sqrt2}^x$

$\implies x={2}^{x/2}$

Para $x=2,$ $\text{LHS}=\text{RHS}=2$

Nota: ignorar $4$ debido a que la respuesta debe ser menos de $2$