If "r" is finite and the manifold is compact, the space of vector fields is a Banach space.

Question

Deje $(X,\mathcal F, \mu)$ ser medibles espacio con $\mu(X)<\infty$. Demostrar que si la función $f$ es medible y finito en $X$ $$\lim_{n\to \infty}\mu \{x: |f(x)|\geq n\}=0.$$

Me han hecho esta pregunta antes. Sin embargo, echaba de menos una condición que $f$ es finito. Sin embargo, tengo una sugerencia sin el uso de esta hipótesis, y creo que la sugerencia es insuficiente. Puede alguien darme más detalles de la prueba? Gracias

Answer 1

Tal vez, este argumento es más fácil. Acaba de darse cuenta de la identidad $$(|f|=+\infty)=\bigcap_{n\geq 1} (|f|\geq n).$$ Hence $$0=\mu(|f|=+\infty)=\mu(\bigcap_{n\geq 1}(|f|\geq n))=\lim_n\mu(|f|\geq n),$$ where the second equality is continuity from above because $\mu$ es finito.