Prueba de que la secuencia convergente en $\Bbb R$ está acotada.

Question

Convergente secuencia en la $\Bbb R$ está acotada. Prueba:

En la definición de una secuencia convergente:

$$(\forall \varepsilon>0), (\exists n_\varepsilon\in\Bbb N), (\forall n\in\Bbb N), ((n>n_\varepsilon)\Rightarrow(|a_n-a|<\varepsilon))$$ deje $\varepsilon=1$, entonces no existe $n_\varepsilon\in\Bbb N$ tal que $(n>n_\varepsilon)\Rightarrow(|a_n-a|<1$). Ahora para $n>n_\varepsilon$ tenemos $|a_n|\leq|a_n-a|+|a|\leq 1+|a|$. Vamos $M=\max\{|a_1|,...,|a_{n_\varepsilon}|,1+|a|\}$ , $\Forall n\in\Bbb > N, \ |a_n|\leq M$, es decir, la sucesión es acotada.

¿Cuál es la idea detrás de esta prueba? Entiendo la primera parte, pero luego, cuando se definen $M$ estoy perdido. Yo no ver cómo es que se relaciona con la primera parte de la prueba.

Answer 1

La idea detrás de esta prueba es independiente de los valores de la secuencia en 2 partes : los que están cerca del límite (dentro de la distancia 1) y los que están "lejos" de el límite.

Por definición de secuencias convergentes, los últimos son en número finito, por lo que el conjunto de sus valores absolutos es acotado, por una real $M$. Y el conjunto de los demás es limitada por $|l|+1$.

De modo que el conjunto de los valores absolutos es delimitada por $\max(|l|+1,M)$.

Answer 2

La idea es que después de un tiempo (es decir, después de $n_\epsilon$), la secuencia está delimitado por $1+|a|$, y antes de eso, la secuencia es finito por lo que es limitado por el elemento más grande.

Lo que se hace es dividir la secuencia en dos partes, una a partir de la parte y "el resto"

1. El comienzo, $a_1,a_2,\dots, a_{n_\epsilon}$, es claramente delimitado por $M_1=\max\{a_1,a_2,\dots, a_{n_\epsilon}\}$. Está delimitada por $M_1$ porque $M_1$ es el mayor elemento de un conjunto finito, y así debe ser mayor que todos los elementos de ese conjunto.
2. El resto de la secuencia, $a_{n_\epsilon+1}, a_{n_\epsilon+2},\dots$, es infinito, así que no podemos simplemente tomar su máximo. Sin embargo, se sabe y se puede demostrar que esta parte debe estar delimitado por $M_2=1+|a|$.

Ahora, la primera parte de la secuencia está delimitado por $M_1$, y el segundo por $M_2$, por lo que ambos deben ser delimitadas por $\max\{M_1,M_2\}$, ya que el $M\geq M_1, M_2$.

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Por ejemplo, es necesario definir $M$ porque $1+|a|$ no puede ser el límite superior de la secuencia completa. Por ejemplo, la secuencia de $\frac2n$ tiene un límite de $0$, pero la secuencia es no acotado por $1+|0|$ desde $2$ es también una parte de la secuencia.

Sin embargo, la secuencia está delimitada por $\max\{2, 0+1\}=2$.

Answer 3

Queremos algo de $M>0$, de modo que $|a_n|\leq M$ todos los $n\in\Bbb N$ y si esto sucede, se dice que la secuencia de $(a_n)$ está acotada. Ahora, ya se mencionó que $$|a_n|<1+|a|\quad\text{for }n=n_{\epsilon}+1,n_{\epsilon}+2,n_{\epsilon}+3,\dots.\tag{$*$}$$ Lo que vamos a hacer para los números de $|a_1|,|a_2|,|a_3|\dots,|a_{n_{\epsilon}}|$? Esto le dará una idea de la toma de $$M=\max\{|a_1|,...,|a_{n_\varepsilon}|,1+|a|\}.$$ So, using the definition of our $M$ together with $(*)$, tenemos $$\begin{align} &|a_1|\leq M\\ &|a_2|\leq M\\ &|a_3|\leq M\\ &\quad\vdots\\ &|a_{n_{\epsilon}}|\leq M\\ &|a_{n_{\epsilon}+1}|< 1+|a|\leq M\\ &|a_{n_{\epsilon}+2}|< 1+|a|\leq M\\ &|a_{n_{\epsilon}+3}|< 1+|a|\leq M\\ &\quad\vdots\\ \end{align}$$ Con lo anterior, llegamos a la conclusión de que $|a_n|\leq M$ todos los $n\in\Bbb N$.

Answer 4

Ver la idea principal es que, por la convergencia de la propiedad , se obtiene un límite de una infinita parte de la secuencia.e de todas las $x_n$'s después de algunos etapa. Ahora, a continuación, el límite se convierte en fácil de definir , acaba de tomar el máximo de todas las $x_n$'s antes de que el particular $N_0$ con el límite de que usted tiene por la parte infinita. Por lo tanto la cota de la secuencia que se define.