Hay interesantes anillos sin la unidad?

Question

Hay varios introductorio de los libros de texto que definir un anillo sin ningún tipo de referencia a una unidad. Sin embargo, casi todos los anillos de uno de los encuentros en las distintas ramas de las matemáticas están dotados de un $1$. Por lo tanto, me pregunto si algunos de ustedes podrían demostrar que estoy equivocado y me muestran algunos ejemplos de anillos sin la unidad que surge naturalmente en una teoría matemática.

(A dos caras ideales no se cuentan como un ejemplo, porque normalmente, no las considera como anillos en su propio derecho, pero como módulos o clases de equivalencia, lo que le pase a un cociente de un anillo (con $1$).)

Answer 1

Dos caras ideales no se cuentan como un ejemplo

Cada nonunital anillo de $R$ es un dos caras ideal en su "unificación" $R \oplus \mathbb{Z}$ (con un definido de forma adecuada la multiplicación). La unificación es la izquierda adjunto para los desmemoriados functor de los anillos de nonunital anillos. Más generalmente, si $R$ $k$- álgebra, hay una unificación $R \oplus k$ $k$- álgebra. Esta es una construcción común, por ejemplo, en el estudio de las C*-álgebras (donde muchos de origen natural C*-álgebras, tales como el álgebra de operadores compactos o grupo C*-álgebras de algunas localmente compacto grupos nonunital); es una expresión algebraica analógica de pasar a la de un punto de compactification (la analogía es a través de Gelfand-Naimark).

La teoría de la C*-álgebras, en particular, demuestra que es rentable para demostrar teoremas sobre nonunital anillos porque entonces usted puede aplicar los teoremas a dos caras ideales.

Escribí algunos ejemplos y comentarios en este blog, que, en particular, muestra que la categoría de no-unital anillos es equivalente a la categoría de aumentada anillos (anillos, junto con un morfismos $R \to \mathbb{Z}$), y esta es una categoría natural para el estudio; en el geométrica lado, aumentada conmutativa anillos son anillos de funciones en "señaló afín esquemas."

Answer 2

Yo una vez pensé que era el caso que en la teoría de números, básicamente, todos los anillos se conmutativo con identidad. Pero esto no es así! En la teoría de la automorphic formas y representaciones, la Hecke álgebra de operadores que actúan sobre las representaciones de los diferentes grupos (los grupos de puntos de reductora grupos locales y globales campos, valorada en el campo, o en el caso global, en sus terminaciones o su adele anillo) generalmente son no-conmutativa y no tienen multiplicativo de identidades (aunque hay interesantes subalgebras, por ejemplo, el esférico Hecke álgebras, que son conmutativas y tienen identidades). En el caso local, los anillos son de convolución álgebras localmente profinite (significado totalmente desconectado y localmente compacto) grupos. Específicamente, para $G$ locales profinite, el espacio de $C_c^\infty(G)$ de lisa (significado localmente constante) y de forma compacta compatible valores complejos de funciones es un anillo debajo de convolución (para una elección de la medida de Haar en $G$) y actúa sobre la suave representaciones de $G$. De hecho, suave representaciones de $G$ son, literalmente, el mismo que suave representaciones de $C_c^\infty(G)$, por lo que juega el papel del grupo de álgebra $\mathbf{C}[G]$ $G$ finito. Pero, a diferencia del grupo de álgebra, este anillo no suelen tener una identidad multiplicativa.

Answer 3

La ruta de álgebra (más de, digamos, $\mathbb{Z}$) de un carcaj con infinidad de vértices es un anillo sin unidad. Una más "avanzados" ejemplo de ello es Lusztig modificación del envolvente de álgebra de la Mentira de álgebra. Esta álgebra es importante en la teoría de la representación y categorification.