Dimensión Global de un Anillo y sus Localizaciones

Question

¿Por qué es el verdadero?

La dimensión global de un noetherian anillo de $A$ es el supremum de la dimensión global de sus localizaciones en su máxima ideales: $$\operatorname{gldim}(A)=\sup_{\mathfrak m\in\operatorname{SpecMax}A} \operatorname{gldim}(A_{\mathfrak m}).$$

Podría un enfoque en la definición de la dimensión global que es el supremum de las dimensiones de todas las $A$-módulos?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Si $S\subset A$ es un conjunto multiplicativo, a continuación,$$\operatorname{gldim}(S^{-1}A)\le\operatorname{gldim}(A)$$ since $\operatorname{pd}_{S^{-1}A}(S^{-1}M)\le\operatorname{pd}_AM$ and every $S^{-1}A$-module is of the form $S^{-1}M$ with $M$ an $A$-module.

Supongamos ahora $$\sup_{\mathfrak m\in\operatorname{SpecMax}A} \operatorname{gldim}(A_{\mathfrak m})<\operatorname{gldim}(A)=n<\infty.$$

Deje $M$ ser un finitely generadas $A$-módulo de con $\operatorname{pd}_AM=n$. A continuación,$\operatorname{pd}_{A_{\mathfrak m}}M_{\mathfrak m}\le n-1$. (Recordemos que $\operatorname{gldim}(A)=\sup\operatorname{pd}_A(M)$ $M$ finitely generado.) Considere la posibilidad de un proyectiva (gratis) resolución de $M$ de la longitud de la $n$, y denotan por $K_i$ $i$th sicigias de $M$, es decir, los núcleos de los mapas en una resolución proyectiva. Desde $\operatorname{pd}_{A_{\mathfrak m}}M_{\mathfrak m}\le n-1$ conseguimos que todas las localizaciones $(K_{n-1})_{\mathfrak m}$ son proyectivos (gratis). De ello se desprende que $K_{n-1}$ es finitely generado y plana, por lo que es proyectiva. Esto conlleva $\operatorname{pd}_{A}M\le n-1$, una contradicción.