Ampliación de débil solución global de la solución débil de parabólica PDE

Question

Fix $T > 0.$

Deje $V \subset H \subset V^*$ ser un Gelfand triple. Considerar el lineal parabólica PDE $$u_t - Au = f\quad\text{in $L^2(0,T;V^*)$}$$ $$u(0) = u_0$$ donde $u_0 \in H$ $f \in L^2(0,T;V^*)$ $A$ es algo de elíptica suave operador.

sabemos que este problema tiene una única solución $$u \in L^2(0,T;V), u_t \in L^2(0,T;V^*)$$ mediante el uso de un método de Galerkin, por ejemplo.

Preguntas:

1. ¿Qué significa exactamente para decir que se puede extender $u$ a una solución global? Supongo que esto significa que podemos escribir $u \in L^2(0,\infty;V)$ y $u$ resuelve el PDE que escribí anteriormente en $[0,\infty)$. Cómo es $f$ extendido de $[0,T]$ -- asumimos tenemos una extensión.

2. ¿Bajo qué condiciones se obtiene una solución global?

(He intentado todos los otros hilos). Cualquier referencia a la fuente de la que habla acerca de esto en detalle, se agradecería demasiado. Gracias.

Edit: Esto es confuso. Algunos papeles

• considere la posibilidad de un PDE y decir que "ya hemos existencia de $u \in L^2(0,T;V)$ cualquier $T>0$, tenemos global de la existencia".
• otros papeles decir resolver el IVP y, a continuación, resolver un PIV con $\tilde u(0) = u(T)$ y de esta manera extender la solución

Por favor, que alguien me dé referencia de autoridad en este tema.

Answer 1

1. Solución Global significa extender de $[0,T]$$[0,\infty)$, siempre que se $f\in L^2_{\mathrm{loc}}([0,\infty),V^*)$.

2. La solución se puede obtener con el estándar de semigroup métodos (a menos $f$ depende de $u$, en cuyo caso usted necesita para desarrollar un adecuado método de energía), es decir, $$ u(t)=\mathrm{e}^{tA}u_0+\int_0^t\mathrm{e}^{(t-s)} f(s)\,ds. \etiqueta{1} $$ Si $A$ es una elíptica operador (es decir,$A=-\Delta$), $\mathrm{e}^{tA}$ define fuertemente continuo semigroup que es, incluso, la contractura: $\|\mathrm{e}^{tA}g\|_{V^*}\le\|g\|_{V^*}$$t>0$, lo que hace que $(1)$ muy fácil de entender.

Answer 2

Una vez que usted tiene una solución $u$ esta solución tendrá una vida útil máxima $T^*$.

La declaración "no existe una solución para cada $T$" implica $T^*=\infty$:

Suponer que la solución no es global, es decir,$T^*<\infty$. En consecuencia, no hay solución para los $t>T^*$ (por la definición de $T^*$). Esta es una contradicción con tres de previa declaración "no existe una solución para cada $T$".

Así que, desde mi punto de vista y si mi razonamiento es correcto, los autores NO están utilizando el "malo de la terminología", ¿verdad?

Ahora, permítanme usar el (unidimensional con dominio de la línea real) ecuación del calor como un ejemplo:

Para la ecuación del calor con un $H^s$ inicial de los datos, se obtienen las estimaciones $$ \|f(t)\|_{H^s}\leq \|f_0\|_{H^s}. $$ Así que, por norma argumentos se obtiene una solución débil hasta el momento de $T$. Si esta solución débil no es global, entonces la solución debe dejar el espacio $H^s$ (de lo Contrario escribir $T^*$ para la máxima vida útil, suponiendo que la solución no deje $H^s$, la función de $f(T^*)\in H^s$. Ahora tome $g_0=f(T^*)$. Por el mismo argumento de antes, se le dio una solución a $g$ al menos para los pequeños de tiempo. Esto contradice la definición de $T^*)$. Como los límites implica que la solución nunca sale de $H^s$ (la solución del operador es una contracción), se obtiene soluciones globales.

La idea de usar los datos definitivos $u(T)$ como nuevos datos iniciales $v(0)$ a extender la solución requiere el tiempo de existencia de la nueva "paso" $v$ a ser más grande (o al menos, el mismo) que en el paso anterior. De lo contrario, uno puede tener una infinidad de "pasos" $T_i$ en el periodo de vida total $T^*=\sum T_i$ es finito.

No sé si esta aclarar algo...