Transformaciones Lineales $ \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3 $

Question

Si $ T : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3 $ es una transformación lineal tal que $ T \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 12 \\ -2 \end{bmatrix} $$ T\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} $, entonces la Matriz estándar $A = ?$

Aquí es donde me quedo pegado con transformaciones lineales y no sé cómo hacer este tipo de operación. Alguien me puede ayudar a empezar ?

Answer 1

Recuerde que $T$ es lineal. Esto significa que para cualquier vectores $v,w\in\mathbb{R}^2$ y cualquier escalares $a,b\in\mathbb{R}$, $$T(av+bw)=aT(v)+bT(w).$$ Por lo tanto, vamos a utilizar esta información. Desde $$T \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 12 \\ -2 \end{bmatrix}, \qquad T\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},$$ usted sabe que $$T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix}\right)=T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ \end{bmatrix}\right)=T\begin{bmatrix} 5 \\ 0\\ \end{bmatrix}$$ debe ser igual a $$T \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}+2\cdot T\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 12 \\ -2 \end{bmatrix}+2\cdot \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20 \\ 10 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ Así, sabemos $T\begin{bmatrix} 5 \\ 0\\ \end{bmatrix}$. ¿Ves cómo encontrar $T\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ \end{bmatrix}$? A continuación, utilice el mismo proceso para averiguar $T\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ \end{bmatrix}$.

Después de hacer eso, usted debe saber cómo hacer que el (estándar) de la matriz de $T$.

Answer 2

Sugerencias:

Escribir todas las $\,v\in\Bbb R^2\,$

$$v=a\binom{1}{2}+b\binom{2}{\!\!-1}\;\;,\;\;a,b\in\Bbb R$$

Ahora, de convencerse de que

$$Tv=a\,T\binom{1}{2} +b\,T\binom{2}{\!\!-1}$$

Por último, obtener la representación de la matriz de $\,T\,$ wrt a la base.

Answer 3

(Supongo que desee de la matriz con respecto a la estándar). Vamos $$ v_1 = \pmatrix{1 \\ 2}\quad v_2 = \pmatrix{2\\-1}. $$ Tenga en cuenta que $$ \pmatrix{1 \\ 0} = \frac{1}{5}(v_1 + 2v_2) $$ Así $$ T\pmatrix{1 \\ 0} = \frac{1}{5}Tv_1 + \frac{2}{5}Tv_2 $$ Esta será la primera columna de $A$.

Ahora hacer lo mismo para encontrar la segunda columna.

Answer 4

desde $(1,2)$ $(2,-1)$ son de la independencia de vectores, de modo que puede ser una base para $ R^{2}$. y si se considera el estándar de base para $R^{3} \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$. De acuerdo al Álgebra Lineal escrito por Hofman Y Kenzy: $T_{\text non-stnadard}=[0,10;12,-1;-2,1](2 \times 3$ matriz) que la primera columna es $T(1,2)$ estándar $(T(1,2)=0(1,0,0)+12(0,1,0)+-2(0,0,1)) $ y la segunda columna es $T(2,-1)$ estándar $(T(2,-1)=10(1,0,0)+-1(0,1,0)+1(0,0,1)). $

a continuación, considere la posibilidad de Un=[$\frac{1}{5}$,$\frac{2}{5}$;$\frac{2}{5}$,$\frac{-1}{5}$] (primera columna de las coordenadas de $(1,0)$ base${(1,2),(2,-1)})$ y la segunda columna es la coordenada del $(0,1)$ base $\{(1,2),(2,-1)\}$

$T_{\text non-standard} *A $es la matriz de $T$ en el estándar de la base .