La intuición en Kulkarni-Nomizu producto

Question

$\renewcommand\vec[1]{{\boldsymbol #1}}$Si $V$ es un espacio vectorial y $T,S \in \mathfrak{T}^0_{\;\;2}(V)$ son covariante de tensores de tipo $(0,2)$, a continuación, definimos su Kulkarni-Nomizu$\newcommand\KN{\bigcirc \kern-2.5 ex\wedge \;}$ product $T \KN S \en \mathfrak{T}^0_{\;\;4}(V)$ by $$(T \KN S)(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{w}) \doteq T(\vec{x},\vec{z})S(\vec{y},\vec{w}) + T(\vec{y},\vec{w})S(\vec{x},\vec{z})-T(\vec{x},\vec{w})S(\vec{y},\vec{z}) - T(\vec{y},\vec{z})S(\vec{x},\vec{w}).$$

Entiendo que $T \KN S$ es una curvatura como tensor, en el sentido de que cumple las siguientes simetrías:

1. $(T \KN S)(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{w}) = -(T\KN S)(\vec{y},\vec{x},\vec{z},\vec{w}) = -(T \KN S)(\vec{x},\vec{y},\vec{w},\vec{z})$;
2. $(T \KN S)(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{w}) = (T \KN S)(\vec{z},\vec{w},\vec{x},\vec{y})$;
3. $(T \KN S)(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\cdot)+(T \KN S)(\vec{y},\vec{z},\vec{x},\cdot)+(T \KN S)(\vec{z},\vec{x},\vec{y},\cdot)=0$ si $T$ $S$ son simétricas.

También tenemos el bono de propiedad que $T \KN S = S \KN T$.

Y aunque esta cantidad aparece con frecuencia en ciertos cálculos es suficiente justificative para darle un nombre y la notación, esto parece artificial a mí hasta ahora.

No tengo la intuición de ningún tipo para que la fórmula, ni puedo pensar en una manera de escribir de forma ordenada como $\sum_{\sigma \in S_4}{\rm something}$. Podemos escribir $$(T\KN S)(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{w}) = \begin{vmatrix} T(\vec{x},\vec{z}) & S(\vec{y},\vec{z}) \\ T(\vec{x},\vec{w}) & S(\vec{y},\vec{w})\end{vmatrix}-\begin{vmatrix} T(\vec{y},\vec{z}) & S(\vec{x},\vec{z}) \\ T(\vec{y},\vec{w}) & S(\vec{x},\vec{w})\end{vmatrix},$$pero estoy fallando a interpretar esto.

Me gustaría alguna información sobre esta definición.

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Si no me lío, tenemos la más "simétrica" de la expresión

$$(T\KN S)(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{w}) = \begin{vmatrix} T(\vec{x},\vec{z}) & S(\vec{x}+\vec{y},\vec{z}) \\ T(\vec{x},\vec{w}) & S(\vec{x}+\vec{y},\vec{w})\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} S(\vec{x},\vec{z}) & T(\vec{x}+\vec{y},\vec{z}) \\ S(\vec{x},\vec{w}) & T(\vec{x}+\vec{y},\vec{w})\end{vmatrix}.$$Todavía no es feliz.

Answer 1

Su simetrías $1-2$ son equivalentes a la necesidad de que $T \KN S \in S^2(\Lambda^2 V)$; de modo que lo que realmente estamos tratando de hacer es tomar formas bilineales en $V$ (en la práctica, estos generalmente se construyen a partir de la métrica y el tensor de Ricci) y convertirlos en formas bilineales en $\Lambda^2 V$.

Cualquier bilineal simétrica forma $T \in S^2 V$ natural induce un bilineal simétrica forma de dos formas de $\Lambda^2 T \in S^2 (\Lambda^2 V)$ a través de la fórmula $$(\Lambda^2 T)(v \wedge w, x \wedge y) = T(v,x)T(w,y) - T(v,y) T(x,w).$$ If you're unconvinced about the naturality of this construction, note that it corresponds via raising an index to the endomorphism $\Lambda^2 T^\sharp : \Lambda^2 V \a \Lambda^2 V$ induced on two-forms by an endomorphism $T^\sharp : V \a V$, lo que puede ser más familiar.

El pensamiento de $\Lambda^2$ como una función de $S^2V \to S^2(\Lambda^2 V)$, vemos que en realidad es un vector de valores) una forma cuadrática. Por polarización de esta forma cuadrática (una cosa natural a hacer!) tenemos un bilineal simétrica forma en $S^2(V)$. De esta forma bilineal es (hasta un factor de $\frac12$) la Kulkarni-Nomizu producto. Es decir, el K-N del producto es el único bilineal simétrica de asignación de $S^2(V) \times S^2(V) \to S^2(\Lambda^2 V)$ tal que $T \KN T = 2\Lambda^2 T$. (Creo que el factor de $2$ es un desafortunado accidente histórico, pero tiene la excelente propiedad de hacer que el tensor de curvatura de la esfera igual a $g \KN g$.)

Esa es la mejor justificación (aparte del hecho de que aparece tan a menudo) que tengo de su existencia - esperemos que la hace parecer un poco menos artificial. Real intuición creo que sólo tienes que trabajar con él por un tiempo - me encontré con su papel en la irreductible de la descomposición de los tensores de curvatura hecho clic en él para mí. Me enteré de esto en el capítulo 11 de este libremente disponible del libro.