Es allí cualquier doble de la serie que no cambio la suma?

Question

Quiero encontrar a una secuencia $(u_{n,p})_{(n,p)\in\mathbb{N}^2}$ que está satisfecho: $$ \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{p=0}^{\infty}u_{n,p} ~\text{es convergente} $$ $$ \sum_{p=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}u_{n,p} ~\text{es convergente} $$ pero $$ \sum_{p=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}u_{n,p} \neq \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{p=0}^{\infty}u_{n,p} $$

Answer 1

Deje $u_{mn} = 1/(m^2 - n^2)$ si $m \neq n$ $u_{mn} =0$ si $m = n.$

Tenga en cuenta que

$$\frac{\pi^2}{12} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1, m \neq n}^\infty \frac{1}{m^2 - n^2} \neq \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1, n \neq m}^\infty \frac{1}{m^2 - n^2} = - \frac{\pi^2}{12}.$$

Por anti-simetría, el doble de la suma de los cambios de signo con un intercambio de índices.

Para hallar la suma, el uso de

$$\begin{align}\sum_{m=1, m \neq n}^\infty \frac{1}{m^2 - n^2} &= \lim_{M \to \infty} \frac{1}{2n} \sum_{m=1, m \neq n}^M \left(\frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n} \right) \\ &= \lim_{M \to \infty} \frac{1}{2n} \left(\sum_{k=1}^{M-n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} - \sum_{k=n+1}^{M+n} \frac{1}{k}\right)\\ &= \lim_{M \to \infty} \frac{1}{2n} \left(\frac{1}{n}- \frac{1}{M-n+1} - \ldots - \frac{1}{M+n} \right) \\ &= \frac{1}{2n^2} \end{align}$$

Answer 2

Deja $$u_{n,p} = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{ if } n = p+1\\ -1 & \text{ if } n = p\\ 0 & \text{ otherwise } \end{array}\right.$$ Entonces $$ \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{p=0}^{\infty}u_{n,p} = u_{0,0} + \sum_{n=1}^{\infty}(u_{n,n} + u_{p,n-1}) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1 + 1) = -1 $$ $$ \sum_{p=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}u_{n,p} = \sum_{p=0}^{\infty}(u_{p,p} + u_{p+1,p}) = \sum_{p=0}^{\infty}(-1 + 1) = 0 $$

Answer 3

Teorema: Vamos a $\sum_{i=0}^\infty a_i$ ser un condicionalmente convergente la serie. A continuación, para cada $x\in\mathbb{R}$ existe un $\sigma$ en el grupo de permutación de $\mathbb{N}$ tal que $$\sum_{i=0}^\infty a_{\sigma(i)}=x$$

Poner en palabras, este teorema dice que, dado un condicionalmente convergente la serie, para cada número real existe cierta reordenación de la suma tal que la reordenar suma da el número real.

Podemos usar este teorema para la construcción de los ejemplos de la serie de la clase que usted está interesado en. Deje $\sum a_i=\sum(-1)^i/i$. El doble de la suma da un orden en $\{u_{n,p}\}$, específicamente el orden en que se concretará. Usted puede imagen esta como un $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ cuadrícula, donde cada fila corresponde a algunos fijos $p$ y cada columna corresponde a algunos fijos $n$. Ahora queremos poner nuestra secuencia $a_i$ en este orden de modo que va filas por las columnas da una respuesta diferente de la que va a las columnas por las filas. Hacer esto es muy sencillo y simplemente requiere de la fabricación de cada fila y columna de una condicionalmente convergente la serie ya que no hay repetidos términos que garantiza que la reordenación de la suma, el valor cambiará.