Transformada de Laplace de la raíz cuadrada de una función genérica

Question

Sea $f(t)$ una función (por ejemplo, del tiempo $t$).

¿Existe una expresión general para la transformada de Laplace de $\sqrt{f(t)}$?

Misma pregunta para la transformada inversa de Laplace: Sea $f(s)$ la transformada de Laplace de $f(t)$, ¿existe una expresión genérica para la transformada inversa de Laplace de $\sqrt{f(s)}$?

edit: Un caso especial conocido es la transformada de Laplace de $f(t)=t$. A menudo se encuentra tabulada, como en esta tabla de la Universidad Lamar en Texas.

edit2: No tengo idea de cómo demostrar que tal transformada general existe. Tal vez no exista y en ese caso estaría muy agradecido por un enlace o una explicación.

Answer 1

Temo que no hay una relación general para la transformada de Laplace de una función.

La tabla que presentaste es bastante rica en relaciones para familias bien comportadas, como $f_{a,2n}(t) = t^{2n} e^{at}$ ya que $\sqrt{f_{a,2n}} = f_{a/2,n}$ obtenemos la siguiente relación: $$ F_{\sqrt{f_{a,2n}}}(s) = F_{f_{a/2,n}}(s) = \frac{n!}{(s-a/2)^{n+1}}.$$ Además, si consideras funciones que son constantes, entonces obtienes una relación diferente $F_{\sqrt{c}}(s) = \frac{\sqrt{c}}{s}$. Otra relación diferente podría obtenerse si consideras una función de escalón positiva $\phi(t) = \sum_{j=1}^k c_k 1_{[a_k,b_k)}(t)$ ($[a_k,b_k)$ disjuntos ) entonces $\sqrt{\phi}(t)$ es, de nuevo, una función simple, por lo que también puedes encontrar una relación en este caso. $$F_{\sqrt{\phi}}(s) = \sum_k \sqrt{c_k}\frac{ e^{-s b_k } - e^{-sa_k}}{s}$$ Todos los esfuerzos parecen ser incapaces de tratar un caso general, pero puedes inferir a partir de estos diferentes ejemplos que dicha relación siempre necesitará ciertas consideraciones ad hoc (es decir, específicas para cada caso)

Además, si tu función no es positiva, entonces podrías tener dificultades para definir la raíz cuadrada de $f$. Eso es un poco desalentador

Para concluir estas líneas, permíteme intentar ofrecerte una relación general que podría ayudar en tus esfuerzos:

Que $f(t)>0$ para cada $t$

$$ F_{\sqrt{f}}(s) = \int_0^\infty e^{-st} \sqrt{f(t)}\, dt $$

$$ F_{\sqrt{f}}(s)^2 \leq \frac{1}{s}\int_0^\infty s e^{-st} f(t)\, dt = \frac{1}{s}F_f(s)$$

donde la desigualdad se sigue de la desigualdad de Jensen ($\phi(\int f d\mu) \leq \int \phi(f) d\mu$ siempre que $\phi$ sea convexa y $\mu$ sea una medida positiva con una masa total de $1$ y nota que $\int_0^\infty s e^{-st} = 1$)