Si a, b, c son tres números naturales con $\gcd(a,b,c) = 1$ tal que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ entonces demuestre que $a+b$ es un cuadrado.

Question

Si a, b, c son tres números naturales con $\gcd(a,b,c) = 1$ tal que $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}= \frac{1}{c}$$ entonces demuestre que $a+b$ es un cuadrado perfecto.

Esto se puede simplificar a: $$a+b = \frac{ab}{c}$$

Además, los primeros ejemplos de $(a,b,c)$ son $(12, 4, 3)$ y $(20, 5, 4)$ . Por lo tanto, tengo la sensación de que $b$ y $c$ son consecutivos.

No creo que haya avanzado mucho.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Reescribir como $(a-c)(b-c)=c^2$ . Primero demostramos que $a-c$ y $b-c$ son relativamente primos. Supongamos por el contrario que el primo $p$ divide $a-c$ y $b-c$ . Entonces $p$ divide $c$ y por lo tanto $a$ y $b$ , contradiciendo el hecho de que $\gcd(a,b,c)=1$ .

Desde $a-c$ y $b-c$ son relativamente primos, se deduce que $a-c=s^2$ y $b-c=t^2$ , donde $st=c$ .

Concluimos que $a=s^2+st$ y $b=t^2+st$ Así que $a+b=(s+t)^2$ .

Answer 2

Para demostrarlo, observamos que $c(a+b)=ab$ . Ahora dejemos que $g$ sea el gcd de $a$ y $b$ que no tiene que ser necesariamente $1$ . Denote $a=a'g$ y $b=b'g$ para que obtengamos $c(a'+b') = a'b'g$ .

Porque $a' + b'$ es relativamente primo de ambos $a'$ y $b'$ se deduce que divide $g$ . Pero g también divide $c(a'+b')$ . Además, tenga en cuenta que $g$ es coprima de $c$ porque era el gcd de $a$ y $b$ , de modo que gcd( $g$ , $c$ )=gcd( $a$ , $b$ , $c$ )=1. De ello se deduce que $a'+b'=g$ y, por lo tanto, que $a+b = (a'+b')g = g^2$ .

Por ejemplo, $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ y $(3,6)=3$ y $3+6=9=3^2$ .