La desigualdad asociada con la transformada de Fourier de

Question

Supongamos que $$\int_{I_1} x^2|f(x)|^2dx\ge\frac12\int_\Bbb Rx^2|f(x)|^2dx$$ and $$\int_{I_2} x^2|\hat f(x)|^2dx\ge\frac12\int_\Bbb Rx^2|\hat f(x)|^2dx$$

para el intervalo de $I_1, I_2$ con centro en el origen y $f\in\mathcal S(\Bbb R)$.

Cómo probar que $|I_1||I_2|\ge\frac1{2\pi}$?

Yo uso de Cauchy-Schwarz desigualdad y Plancherel la fórmula, pero no funciona...

Por favor dar alguna sugerencia.

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que la afirmación no se sostiene por $f=0$. En la secuela, suponemos que $f$ no es idéntica a cero.

Conjunto $I_1=[-a,a]$, $I_2=[-b,b]$ para $a,b>0$. Desde $f$ es un Schwartz función, por lo tanto, en particular, acotado, podemos suponer $$\int f^2(x) \, dx = 1.$$

Por el principio de incertidumbre y la asunción de las integrales,

$$\begin{align*} \frac{1}{16 \pi^2} &\leq \left( \int_{\mathbb{R}} x^2 \cdot f(x)^2 \, dx \right) \cdot \left( \int_{\mathbb{R}} x^2 \cdot \hat{f}(x)^2 \, dx \right) \\ &\leq 4 \left( \int_{-a}^a x^2 \cdot f(x)^2 \, dx \right) \cdot \left( \int_{-b}^b x^2 \cdot \hat{f}(x)^2 \, dx \right) \end{align*}$$

Ahora encontrar un límite superior (dependiendo de $a$, $b$) para el resto de las integrales usando ese $\|f\|_{L^2}=1$ y la identidad de Plancherel.

Comentario Observe que hay varias definiciones para la transformada de Fourier. La constante $\frac{1}{16\pi^2}$ se refiere a la transformada de Fourier

$$\hat{f}(\xi) = \int f(x) \cdot e^{-2\pi \imath \, x \cdot \xi} \, dx$$

Dependiendo de la definición en su libro, usted podría tener que modificar esta constante.

Answer 2

En esta respuesta, se demuestra que en la $\mathbb{R}^n$ y el uso de la misma transformada de Fourier que el saz menciona, $$ \|\xi\hat{f}\|_2\|xf\|_2\ge\frac{n}{4\pi}\|\sombrero{f}\|_2\|f\|_2\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \frac12\|xf(x)\|_2\|\xi\hat{f}(\xi)\|_2 &\le\|xf(x)\|_{L^2(I_1)}\|\xi\hat{f}(\xi)\|_{L^2(I_2)}\tag{2}\\ &\le\frac{|I_1||I_2|}{4}\|f(x)\|_{L^2(I_1)}\|\hat{f}(\xi)\|_{L^2(I_2)}\tag{3}\\ &\le\pi|I_1||I_2|\|xf(x)\|_2\|\xi\hat{f}(\xi)\|_2\tag{4} \end{align} $$ $(2)$: Dado
$(3)$: $|x|\le\frac{|I_1|}2$ y $|\xi|\le\frac{|I_2|}2$
$(4)$: $(1)$ en $\mathbb{R}^1$

Por lo tanto, obtenemos que $|I_1||I_2|\ge\frac1{2\pi}$