Constantes en una firma

Question

¡Este es mi primer post así que espero que funcione! Tomando como ejemplo los axiomas para un grupo, la literatura define un grupo de (al menos) dos maneras diferentes:

Método 1

Una firma de $(G,\circ,\,^{-1})$ y axiomas

1. Asociatividad. $g_{1}\circ(g_{2}\circ g_{3})=(g_{1}\circ g_{2})\circ g_{3}$ .
2. Identidad. $\exists e\in G,e\circ g=g$ .
3. Inversa. $g^{-1}\circ g=e$ .

Método 2

Una firma de $(G,\circ,\,^{-1},e)$ y axiomas

1. Asociatividad. $g_{1}\circ(g_{2}\circ g_{3})=(g_{1}\circ g_{2})\circ g_{3}$ .
2. Identidad. $e\circ g=g$ .
3. Inversa. $g^{-1}\circ g=e$ .

La diferencia entre ambos es la definición de la constante $e$ .

Entonces, ¿hay alguna diferencia matemática entre estos métodos? Supongo que todos los teoremas demostrables bajo el método 1 son demostrables bajo el método 2. ¿Es cierto? Si es así, en general, ¿es el caso que todas las constantes pueden excluirse de las firmas e introducirse con una cláusula existencial en un axioma?

Answer 1

A efectos prácticos, no.

$(G,\circ, ^{-1},e)$ es una extensión definible de $(G,\circ, ^{-1})$ . Puede definir la identidad en $(G,\circ, ^{-1})$ vía $\varphi(x) \equiv (\forall y)(y \circ x = x \circ y = y)$ por lo que, a casi todos los efectos, estas estructuras/lenguajes son los mismos.

(En general, una diferencia entre un lenguaje y sus extensiones definibles puede ser la eliminación de cuantificadores. Por ejemplo, $Th(\mathbb{R}, +, \times, 0,1)$ no tiene Q.E. sino la expansión definible $Th(\mathbb{R}, +, \times, 0,1,<)$ hace)

Answer 2

Si considera que monoides en lugar de grupos, habrá una diferencia. Las subestructuras de monoides con identidad distinguida son monoides, pero sin ella suelen ser simples semigrupos. Consideremos, por ejemplo, la subestructura de $\langle\mathbb{Z},+\rangle$ con universo los enteros positivos $\mathbb{N}$ .

Answer 3

Como se menciona en la respuesta de Kyle, en el caso que usted preguntó específicamente sobre, no hay mucha diferencia si se incluye el identidad en su lista de operaciones.

Sin embargo, en términos generales, si seleccionas un elemento especial de tu universo y lo incluyes (como una operación constante, es decir, "nula") entre tu conjunto de operaciones básicas, puede resultar que tenga consecuencias significativas para la teoría ecuacional del álgebra. Para ver por qué, piense en el conjunto de ecuaciones que puede escribir y que pueden o no ser válidas para esta álgebra. Este conjunto puede ampliarse si se da un nombre a algún elemento "especial" del universo.

Esto se ilustra de forma sorprendente en el artículo de 1982 [1] en el que Roger Bryant demuestra que si se da un nombre a otro elemento de un grupo, la teoría ecuacional del álgebra resultante no tiene por qué estar generada por un conjunto finito de ecuaciones. Por el contrario, Oates y Powell demostraron en [2] que la teoría ecuacional de un grupo finito (sin ningún elemento especialmente nombrado) tiene una "base finita".

...pero no nos detengamos en este profundo asunto ecuacional con el que puede ser muy difícil hacer las paces.

En una nota mucho más ligera, hay otra manera de pensar acerca de una operación nula si usted es un programador de computadoras - es un thunk ¡! Es decir, es un elemento del universo que se hace pasar por una función. Esto tiene importantes consecuencias para la programación porque puede determinar cuándo se evaluará una expresión. (Las funciones y los tipos superiores suelen pasarse usando llamada-por-nombre, a diferencia de los tipos primitivos que suelen pasarse llamada-por-valor). No estoy seguro de que sea útil hacer esta conexión, pero de todos modos creo que es bastante útil.

[1] "The laws of finite pointed groups" R. M. Bryant, Bull. London Math. Soc, 14 (1982), 119-123.

[2] "Identical relations in finite groups", S. Oates, M. B. Powell, J. Algebra (1965).