Cálculo de variaciones pregunta con dos variables

Question

Si $u(x)$ $v(x)$ satisfacer $u(0)=1$, $v(0)=-1$, $u(\pi/2) =0$, $v(π/2) =0$ en

extremals de funcional

$$ \int_0^{\pi/2}\left[\big({\frac{du}{dx}\big)^2 +\big(\frac{dv}{dx}\big)^2 +2 \,u v }\,\right] dx $$

a continuación, cuál de las siguientes opciones es la correcta?

1) u(${\pi/4}$) + v(π/4) =0

2) u(${\pi/3}$) - v(π/3) =0

3) u(${\pi/4}$) - v(π/4) =1

4) u(${\pi/3}$) + v(π/3) =0

Answer 1

SUGERENCIA: Usted tiene funcionales de la forma

$$ I[u,v] = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathcal{L}\left(u,v,u',v'\right)dx, \ \ \text{ donde } \ \mathcal{L}\left(u,v,u',v'\right) = \left(u'\right)^2+\left(v'\right)^2 + 2uv. $$

El uso de la de Euler-Lagrange ecuación para varias funciones dependiendo de una variable, se puede escribir el sistema de ecuaciones diferenciales

$$ \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \bigg( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u'} \bigg) = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \bigg( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v'} \bigg) = 0 \end{aligned} \right. \iff \left\{ \begin{aligned} 2v - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( 2u' \right) = 0 \\ 2u - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( 2v' \right) = 0 \end{aligned} \right. \iff \left\{ \begin{aligned}v-u'' = 0\\ u - v'' = 0 \end{aligned} \right. $$ La resolución de estas ecuaciones para las condiciones de frontera para$u$$v$$0$$\frac{\pi}{2}$, usted encontrará puntos críticos $(u_0,v_0)$ de la original, funcional $I[u,v]$ mediante la resolución de estas ecuaciones.

Tan pronto como usted consigue estas soluciones, que al instante se puede enchufar en valores y determinar qué respuesta es la correcta.