Ya hay una respuesta de @Chappers, pero yo quería la observación en la palabra "pacto" y por qué puede ser considerado como adecuado para su propósito. Tal vez usted encontrará que es relevante.
En mi opinión, compact es una muy buena plazo – espacios compactos realmente son los espacios que son de cerca y cuidadosamente embalado juntos, sin embargo, no en el común de significado literal de la frase. Tal vez alguien que trata de aplicar la norma intuiciones de estos conceptos va a ser confundido, por lo menos sé que yo (pero gracias a que yo era capaz de llegar a mi actual intuición $\ddot\smile$).
Por ejemplo, la línea real es no compacto, pero podemos tocan dos puntos para conseguir $\mathbb{R}\cup \{-\infty, \infty\}$, y de repente es compacto. Pero, ¿cómo puede contiguo más puntos para dar una mayor cosa pequeña? ¿Cómo puede un gran (es decir, no compacto) espacio nunca ser incrustado en una pequeña (es decir, compacta) el espacio? Más raro aún, el intervalo abierto $(0,1)$ es no compacta, a pesar de ser aparentemente mucho más pequeño que todos los espacios hasta ahora hemos considerado. Pero una vez más, podemos agregar dos puntos para conseguir el espacio compacto $[0,1].$ ¿Qué está pasando aquí?
El punto es que a pesar de la diferencia aparente de la longitud o tamaño (o lo que usted quiera llamar), los espacios de $[0,1]$ $\mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\}$ son topológicamente equivalentes. Del mismo modo, los espacios de $(0,1)$ $\mathbb{R}$ también son topológicamente equivalentes. Además, cada uno de estos espacios puede ser incorporado en cada uno de los otros. Así que tenemos una noción de cercanía que se tenga en cuenta. En otras palabras, no ordinario de la intuición (es decir, el entendimiento común de dos puntos de cierre o cuidadosamente embalado junto) será suficiente. Compacidad resuelve este problema.
Para hacer mi punto voy a utilizar dos condiciones equivalentes a la compacidad:
- Un espacio es compacto si toda cubierta abierta tiene un número finito de subcover.
- Un espacio es compacto si cada red tiene una convergencia de subred (redes son generalizaciones de las secuencias).
En las portadas:
Alguien podría decir: para un conjunto compacto tiene un número finito de abrir la cubierta, gran tema, $\mathbb{R}$ tiene uno también! Pero $(1)$ es mucho más que eso, su cada apertura de la tapa tiene un número finito de subcover, y el hecho de que ni uno solo quedó es importante. Usted puede pensar de la siguiente manera:
Supongamos que tenemos un pacto conectado espacio y que me decía que señala en su opinión son cerca uno del otro y que están lejos. Usted puede hacer esto por cubrir el espacio con abrir establece lo suficientemente pequeño como para satisfacer su sentido de cercanía, de modo que los puntos que están lejos no pertenecen al mismo conjunto abierto. Sin embargo, para cualquier cubierta que puedo coger un finito subcover, lo que significa que la distancia en unidades de cuidado sobre (es decir, el abierto de conjuntos) entre dos puntos cualesquiera del espacio es menor que una constante, por lo tanto, cerca el uno del otro (esto es de alguna manera similar a cómo "casi todos" puede significar "todos excepto un número finito" a pesar de que el número finito de ser grande).
Considere la posibilidad de la $(0,1)$ intervalo abierto: puede parecer pequeña, pero se puede especificar el abierto de conjuntos, de manera que a medida que te acercas a $0$, el padre, aparte de sus puntos (en términos de número de abrir los sets necesarios para conectarlos). En la otra mano tome el extended real en línea, usted puede seguir con más y más números, pero usted tiene para finalmente caer en el conjunto abierto que contiene a $+\infty$, y lo hará en un número finito de pasos.
En las redes:
Las redes son una generalización de las secuencias, para hacerlo más accesible, permítanme describir esto en términos de secuencias, sólo recuerda que la secuencial compacidad y compacidad no son equivalentes (a pesar de que son las métricas espacios).
Considere la posibilidad de un espacio compacto y una secuencia de elementos de la misma. Usted podría imaginar caminando y visitando diferentes lugares de ese espacio. Sabemos que ha convergente larga, por lo que, en otras palabras, no tiene que ser un lugar en el barrio de la cual usted visita una infinidad de veces. Eso significa que, si caminas lo suficiente, usted va a tener que volver a un barrio que ya has visto. Un espacio de este tipo tiene que ser bastante pequeño, ¿verdad?
Por otro lado, si se considera una secuencia que no tiene ningún tipo de convergencia larga, por ejemplo,$1, 2, 3, 4, \ldots$, entonces usted puede seguir y seguir, pero el espacio no es compacta - no es "de cerca y cuidadosamente embalado juntos". De igual manera, con $(0,1)$, usted puede elegir los barrios (cubierta) y un patrón específico de caminar (depende de los barrios), de modo que usted no visita cualquier barrio dos veces. Un espacio que no es poco, pero tampoco es compacto.
Poner esto en términos de redes en lugar de secuencias (lo que significa que estamos haciendo pasos a lo largo arbitrario dirigida conjunto, no solo los números naturales, por ejemplo puedes hacer una infinidad de infinitamente pequeños pasos) puede ser confuso, pero creo que aún así da una cierta intuición de por qué se puede pensar de espacios compactos están "muy de cerca y cuidadosamente embalado juntos".
Espero que esto ayude a $\ddot\smile$
