Demostrando un polinomio tiene una solución en el intervalo (0,1)

Question

No tengo idea de cómo empezar este problema. Estoy suponiendo que el Valor medio Teorema es necesario en la prueba, pero no estoy exactamente seguro de cómo aplicar para el polinomio dado. Cualquier sugerencias/ayuda sería apreciada.

Si

$ \frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_1}{2} + a_0 = 0 $,

demostrar que la ecuación polinómica

$ a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + a_1x + a_0 = 0$

tiene una solución en $(0,1)$.

Answer 1

Definir $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\dotsb+\frac{a_1}2x^2+a_0x$$g(0)=g(1)=0$, por lo tanto por el teorema de Rolle hay algunos $c$ en el intervalo de $(0,1)$ tal que $g'(c)=0$ como queremos.

Answer 2

Sugerencia: el plazo $\frac{1}{n+1}, \frac 1n,\cdots$ es una sugerencia que se puede hacer la integración. Integrar la polynomails en $[0,1]$ y ver qué pasa.