¿Por qué este argumento para los reales de ser contables mal?

Question

Después de ver una prueba del conjunto de programas contables, pensé en el siguiente argumento: Considere los conjuntos de los números reales (de la forma $0.xxx...$) con $0$, $1$, $2$, $3$, $...$ importante decimales. Cada uno de estos conjuntos es finito como se ha $0$, $10^{1}$, $10^{2}$, $10^{3}$, $...$ elementos, respectivamente.

Ahora, hay countably muchos de estos conjuntos, como puedo enumerarlos con el número de decimales que el índice.

Por último, he visto una prueba (con un zig-zag argumento) que el contable de la unión de la mayoría de los contables de conjuntos contables. Pero, sólo nos mostró (aparentemente) que los reales puede ser escrito como tal de la unión, por lo que debe ser contables!? Lo que puede haber yo hecho mal?

Answer 1

Debido a que los números reales de tener decimal finito expansiones son todos racionales, y su enumeración no capturar todos los números irracionales (y pierde algunos racionales).

Answer 2

La prueba sólo le dice que la colección de los números con finitely decimal largo de las expansiones es contable, que lo es. Pero, ¿qué acerca de los números reales cuya decimal expansiones no terminar (donde, por ejemplo, $\pi - 3$ vienen en su lista de decimales)?