Aquí es un resultado interesante en el estudio de las curvas de $\mathbb R^3$. La prueba es analítica, y va a ser parafraseado de Do Carmo del libro "Geometría Diferencial de Curvas y Superficies", que es un estándar de referencia. Si bien gran parte de la geometría diferencial tiene que ver con colectores de mayor dimensión que apenas curvas, hay muchas nociones que creo que no me sentiría cómodo tratando de extraer hacia abajo en un corto argumento o explicación de algunos teorema de la realidad sin perder la belleza de la declaración. Hay muchos expertos en geometría diferencial aquí, y voy a dejar que ellos tienen el placer de explicar algunos de estos resultados. Vale la pena señalar que gran parte de la geometría diferencial es real-analítico, en lugar de complejos. Espero que usted todavía encontrar este resultado interesante. En primer lugar, parte de la terminología:
Deje $\alpha(s)$ ser una curva parametrizada por longitud de arco. La derivada de $\alpha$ es un vector tangente $t$, y desde $\alpha$ es parametrizada por longitud de arco, es la unidad de longitud. Esto significa que $|\alpha''(s)|$ mide la tasa de cambio del ángulo en el que los vecinos de las tangentes hacer con la tangente en el $s$. Este valor se denota por a $\kappa$ y es la "curvatura" de $\alpha$. Si la curvatura en un punto de una curva no es cero, entonces existe un vector unitario $n$ en la dirección de $\alpha''$ definido por $\alpha''(s) = \kappa (s) n(s)$, que es perpendicular a la tangente de la línea (esto se deduce a partir de la diferenciación $\alpha' \cdot \alpha' = 1$). Este vector $n$ es el vector normal, y el avión se extendió por la tangente y la normal se llama el 'osculating avión'.
En geometría, muchas veces queremos coordenadas adaptado a nuestra situación particular. En particular, cuando se trata de curvas, es deseable disponer de un conjunto linealmente independiente de vectores que viven en cada punto de una curva, llamada 'bastidor móvil.' El tercer y último vector de este marco se encuentra tomando el producto cruzado de la tangente con la normal, para producir la binormal.' Este marco es muy especial y se llama el " marco de Frenet.'
Hay una última noción necesitamos - la derivada de la binormal. Esto se llama la " torsión.' Similar a la curvatura, esta medida de cuánto la curva de tira y giros de distancia de la osculating plano. Se denota por a $\tau$
Ahora estamos listos para el estado de la reclamación:
TEOREMA: Dada funciones diferenciables en un intervalo de $k(s) >0$$\tau(s)$, existe un regular con parámetros de la curva de $\alpha$ tal que $s$ es la longitud de arco, $k(s)$ es la curvatura de $\alpha$ $\tau$ es la torsión de $\alpha$. Por otra parte, cualquier otra curva con las mismas condiciones es isométrico a $\alpha$, en el sentido de que hay algunos rígido de movimiento (es decir, el elemento de $O(3)$ y/o una traducción), que asigna la otra curva en $\alpha$.
Vamos a dibujar la prueba, que utiliza la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.
A partir de las definiciones, no es difícil mostrar que la Frenet marco puede ser dada por las siguientes ecuaciones.
$$\frac{dt}{ds} = \kappa n$$
$$\frac{dn}{ds} = -\kappa t - \tau b$$
$$\frac{db}{dt} = \tau n$$
Ahora, realmente, ya que estos son todos los vectores de cantidades, cada una de ellas es en realidad una función lineal de tres variables - las coordenadas de los vectores en cada punto. Y así, el marco de Frenet da un diferencial lineal del sistema en $I \times \mathbb R^n$.
Este sistema puede parecer un lío caliente, pero tenemos un teorema de existencia que puede manejar. En particular, dado que el sistema es lineal, la costumbre local de la existencia de resultados de análisis puede manejar este sistema en todo el intervalo. De ello se sigue que dado a estas funciones, y las condiciones iniciales que utilizamos para crear el ortonormales marco en un punto, se puede resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias sin ningún tipo de problemas. Sin embargo, no sabemos que las soluciones sean ortonormales, y esto es clave si queremos que nuestra curva a ser definido esencialmente por la Frenet marco que estamos tratando de prescribir.
Ahora para comprobar orthnormality, haremos uso de las ecuaciones de Frenet para comprobar que las cantidades $\langle t,n \rangle, \langle t, b \rangle, \langle n, b \rangle, \langle t ,t \rangle, \langle n, n \rangle, \langle b, b\rangle$ son todos bien $0$ o $1$, respectivamente.
A partir de estas expresiones, podemos diferenciar cada una de estas expresiones y, a continuación, una relativamente sencillo cálculo muestra que el resultado deseado es cierto.
Ahora debemos obtener efectivamente la curva. Esto es recta hacia delante lo suficiente. Set $\alpha(s) \int t(s) ds$. Esto asegura que el $\alpha'(s) =t (s) $ y $\alpha''(s) = \kappa n$, por lo que el$\kappa (s) $, en realidad es la curvatura en cada punto. Que hemos logrado en la prescripción de la torsión es un poco más difícil. Podemos ver que $\alpha '''(s) = \kappa ' n - \kappa^2t - \kappa \tau b$ a partir de la regla del producto y la definición. Entonces, tenemos que utilizar otra (computacional) de hecho, lo que tampoco es súper difícil de demostrar, que la $\frac{-\langle \alpha' \times \alpha'', \alpha''' \rangle}{\kappa^2} = \tau$, y esto demuestra que $\alpha$ es la invención de la curva.
La singularidad parte afortunadamente más fácil. El Frenet cuadros conjuntos linealmente independientes y, de hecho ortonormales significa que podemos rotar una imagen y traducir de manera que los orígenes coinciden y, a continuación, utilizar la singularidad parte de nuestra existencia/teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias, para demostrar que después de este cambio, las soluciones obtenidas, y por lo tanto las curvas coinciden.
En retrospectiva, me siento como este argumento podría ser bastante breve. La base de la teoría de curvas y superficies tiene muchos cálculos en ella, la mayoría de los cuales son muy simples, pero a veces un poco largo, pero siempre satisfactorio trabajar fuera, en mi opinión. Os animo a cazar una copia de la Do Carmo del libro, y tomar un pase en ella. El libro tiene un buen número de ilustraciones, pero respeta pocos, si alguno, los detalles en rigor matemático. El analista en el que usted estará satisfecho de que las pruebas no son destilada en las fotos, con los detalles reales de la izquierda para el lector encontrará una completa narración de todos los detalles elementales de la geometría diferencial en este texto.
