Resolución de ecuaciones cuadráticas diofánticas: $5n^2+2n+1=y^2$

Question

Espero que no sea inapropiado preguntar esto aquí. Me topé con este sitio recientemente mientras investigaba un problema del Proyecto Euler, ahora me imagino que lo usaría para preguntar sobre un tema recurrente en estos problemas: ecuaciones cuadráticas de Diofantina.

Recientemente he reducido otro problema del Proyecto Euler (no diré cuál, debería ser irreconocible del problema original y probablemente debería mantenerse así) a la siguiente ecuación diofantina:

$$5n^2+2n+1=y^2$$

He estado tratando de usar http://www.alpertron.com.ar/METHODS.HTM como referencia, pero parece que me pierdo en un mar de constantes. Y los pasos que da ese programa al final de esa página no parecen coincidir con lo que dice que hay que hacer. De todas formas prefiero poder entender los pasos que doy en lugar de copiar un método.

Me interesan todos los valores enteros positivos de n y tengo más o menos claro que existe una solución con n=2. ¿Cómo puedo encontrar el resto de las soluciones? ¿Y cómo resolvería este tipo de ecuaciones en general? Si esta última parte es una pregunta demasiado compleja para ser tratada aquí, ¿hay algún otro recurso que pueda ayudar? En cuanto a mi nivel actual de matemáticas, tengo una licenciatura en ingeniería (y ayudé a una licenciatura en matemáticas con algunos cursos que nunca tomé) y ya he trabajado en problemas del Proyecto Euler que involucran ecuaciones de Pell y expansiones de fracciones continuas de raíces cuadradas.

Answer 1

Escribe la ecuación como $$ (2n)^2 + (n+1)^2 = y^2,$$ y luego aplicar la parametrización [conocida] para los triples pitagóricos.

Answer 2

Empieza por completar el cuadrado de la izquierda: $$ 5\big( n+\tfrac15)^2 + \tfrac45 = y^2 $$ Multiplica por 5 para despejar los denominadores: $$ (5n+1)^2 + 4 = 5y^2. $$ Por lo tanto, está buscando soluciones a la ecuación Pell $$ x^2 - 5y^2 = -4 $$ que resultan satisfacer $x\equiv1\pmod5$ (para que $n=(x-1)/5$ ).

Dado que sabes cómo resolver la ecuación de Pell, deberías ser capaz de encontrar una forma de generar todas las soluciones enteras $(x_k,y_k)$ algunos de estos valores $x_k$ será $1\pmod 5$ y el conjunto de tales $k$ debe ser una progresión aritmética.

Answer 3

Como dice arriba, puede manipular el problema original en:

$$(n+1)^2 + (2n)^2 = (y)^2.$$

La suma de dos cuadrados igual a un cuadrado es una ecuación de tipo pitagórico, así que parametriza como sigue:

\begin{align} p^2 - q^2&=n+1 \tag{1} \\ 2pq&=2n \tag{2} \\ p^2 + q^2 &= y^2 \tag{3} \end{align}

Ponga esto $n$ en (1), tenemos

$$pq + 1 = p^2 - q^2 \implies 1 = p^2 - pq -q^2.$$

Completar el cuadrado del primer y segundo término:

\begin{align} 1 = (p-q/2)^2 - q^2/4 - q^2 \\ &\implies 1 = (p-q/2)^2 - (5/4)q^2 \\ &\implies 4 = (2p - q)^2 - 5q^2 \end{align}

Dejemos que $r = 2p - q$ Esto implica que $p=\frac{r+q}{2}$ , Así, $n=pq=\frac{(r+q)q}{2}$ , Así, $y=\sqrt{\left(\frac{r+q}{2}\right)^2 + q^2}$ . La ecuación anterior es ahora $$r^2 - 5q^2 = 4$$ que es una ecuación de tipo Pell

Creo que es justo representar la solución del problema en términos de las soluciones de una ecuación de tipo Pell, cuyo número es infinito:

De este modo, el conjunto de soluciones es $$(n,y) = \left(\frac{(r+q)q}{2}, \sqrt{\left(\frac{r+q}{2}\right)^2 + q^2}\right)$$ tal que $(r,q)$ pertenece al conjunto de soluciones de $r^2 - 5q^2 = 4$ . He aquí algunos ejemplos:

\begin{array}{rcl} (r,q) &\to& (n,y^2) \\\hline (3,1) &\to& (2,5) \\ (7,3) &\to& (15,34) \\ (18,8)&\to& (104,233) \\ \end{array} y así sucesivamente...