¿Cuál es el valor de $\int_{\gamma} \bar{z} dz$?

Question

Yo podría utilizar un poco de ayuda en el cálculo de $$\int_{\gamma} \bar{z} \; dz,$$ where $\gamma$ may or may not be a closed curve. Of course, if $\gamma$ is known then this process can be done quite directly (eg. Evaluate $\int \barra z dz$), a pesar de que no es el caso aquí.

Por ejemplo, si $\gamma$ es de hecho una curva cerrada, a continuación, que puede mostrar la integral anterior es puramente imaginaria, pero todavía no sabemos cómo calcular explícitamente.

Gracias!

Answer 1

Como el integrando es no holomorphic, la integral dependerá de la trayectoria total $\gamma$, y no sólo en los extremos. En ese sentido, su expresión ya es el más compacto de la expresión se puede escribir sin el conocimiento de la ruta de $\gamma$. ¿Qué tipo de final (forma cerrada) la expresión qué tienes en mente?

Answer 2

Para una curva cerrada es $2 i$ veces la orientada al área de la región encerrada por $\gamma$. Aquí "orientado a la zona" se entiende que la liquidación número de alrededor de un punto determina la manera en que punto contribuye a la zona. Por ejemplo, para cualquier círculo de radio de $r$ recorrido en sentido antihorario la dirección de la integral es igual a $2i\, \pi r^2$. Para ver la fórmula general tenga en cuenta que si $\gamma: [0,1] \to \mathbb{C}$, $\gamma(t) = x(t) + iy(t)$ entonces $$\operatorname{Im} \int_{\gamma} \overline{z} dz = \int_0^1 \det \begin{pmatrix} x(t) & x'(t) \\ y(t) & y'(t) \end{pmatrix} dt $$ and this is indeed twice the area of the region enclosed by $\gamma$. Usted ya sabe que la parte real es cero.

Answer 3

Usted tiene $$ \int_{\gamma} \bar{z} dz = \int_{\gamma} (x - iy) (dx + idy) = \int_{\gamma} xdx + ydy + i \int_{\gamma} x dy - ydx.$$ El integrando de la parte real es una diferencial exacta, y por lo que sólo depende de los puntos finales de $\gamma$ y se desvanece si $\gamma$ es cerrado. Usted puede escribir una fórmula explícita para esta parte. La parte imaginaria no es exacta, y así que en general, la integral depende de la ruta. Como WimC menciona anteriormente, si $\gamma$ es una curva cerrada simple, usted puede usar el Verde del teorema de relacionar este a la zona cerrada. Si $\gamma$ no está cerrado, yo creo que no se puede esperar más información.

Answer 4

Deje $\gamma$ tiene representación paramétrica $$\gamma=\{(x, \ y)\in\mathbb{R^2}\colon\quad x=\varphi(t), \, y=\psi(t),\; t\in[a, \, b] \}.$$ A continuación, para $z=x+iy \in \gamma$ \begin{gather} \int\limits_{\gamma}{\bar{z} \ dz}=\int\limits_{\gamma}{(x-iy) \ (dx+i\:dy)}=\int\limits_{\gamma}{(x\ dx +y\ dy)}+i\int\limits_{\gamma}{(x \ dy - y \ dx )}= \\ =\int\limits_{a}^{b}{\left(\varphi(t) \varphi'(t)+\psi(t) \psi'(t)\right)dt}+i \int\limits_{a}^{b}{\left(\varphi(t) \psi'(t)-\psi(t) \varphi'(t)\right)dt}= \\ =\dfrac{1}{2}\int\limits_{a}^{b}{d\left( \varphi^2(t)+\psi^2(t) \right)dt}+i \int\limits_{a}^{b}{\left(\varphi(t) \psi'(t)-\psi(t) \varphi'(t)\right)dt}= \\ =\varphi^2(b)-\varphi^2(a)+\psi^2(b)-\psi^2(a)+i \int\limits_{a}^{b}{\left(\varphi(t) \psi'(t)-\psi(t) \varphi'(t)\right)dt}. \end{reunir}