Progresión infinita - bien hecho?

Question

Para resolver: $ \lim\limits_{n\to \infty}(x+x^3+x^5+...+x^{2n-1})=-\frac{2}{3}$.

Así que podemos ver que es una progresión geométrica (constante el cociente) y va infinitamente. Así que podemos aplicar la fórmula: $\sum_{n=0}^\infty a_1 q^n=\frac{a_1}{1-q}$ y obtenemos: $\frac{x}{1-x^2}=-\frac{2}{3}$, pero como es sólo válida para un valor absoluto del cociente menor que uno, tenemos que suponer $|x^2|<1$. La resolución de la ecuación, obtenemos $x=2$ o $x=-\frac{1}{2}$. La primera es contrario a nuestra hipótesis de lo $x=-\frac{1}{2}$.

Esto es correcto? O me he perdido algo?

Answer 1

Que funciona.

Usted podría también tenga en cuenta que $x+x^3+x^5+...+x^{2n-1}$ es positivo cuando se $x>0$, y no convergen al $|x| \ge 1$.

Personalmente me gustaría escribir $x+x^3+x^5+...+x^{2n-1} = \frac{x}{1-x^2}\left(1-x^{2n}\right)$ [aparte de $x=\pm 1$, cuando se es $nx$] antes de tomar el límite.