Encontrar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tal que $a^2+nab+b^2$ es un cuadrado perfecto.

Question

Al $n=2$, la pregunta es trivial. Hay un método general para encontrar todos los pares de $n\ge{3}$$n\in{\mathbb{N}}$?

Answer 1

Deje $a^2+nab+b^2 = c^2$

Deje $x = \dfrac ac$$y=\dfrac bc$.

Entonces tenemos que encontrar racional soloutions $(x,y)$ $x^2 + nxy + y^2 = 1$

Empezamos con la solución particular $(x,y) = (-1,0)$ y "dibujar" la línea $y = \dfrac uv(x+1)$ donde $u,v$ son números enteros, a través de ese punto. Se intersecta la hipérbola $x^2 + nxy + y^2 = 1$ a un punto racional.

\begin{align} x^2 + nxy + y^2 &= 1 \\ x^2 + \dfrac uvnx(x+1) + \dfrac{u^2}{v^2}(x+1)^2 &= 1 \\ x &= \dfrac{v^2-u^2}{u^2+uvn+v^2} &\text{(We discarded %#%#%.)} \\ y &= u\dfrac{nu+2v}{u^2+nuv+v^2} \end{align}

Llegamos $x=-1$ donde

\begin{align} a &= v^2-u^2 \\ b &= nu^2+2uv \\ c &= u^2+nuv+v^2 \end{align}

Si $a^2+nab+b^2 = c^2$ es una solución, entonces también lo es $(a,b)$, $(-a,-b)$, y $(b,a)$. Así que todas las soluciones puede ser caracterizado como

$(-b,-a)$$

Answer 2

Otra manera de abordar esto es el uso de Hilbert teorema de los 90.

Como en steven gregory respuesta del objetivo a resolver $$x^2+nxy+y^2=1$$ en los racionales. Esto es equivalente a $$N\left(x+\frac{ny}2+\frac y2\sqrt{n^2-4}\right)=1$$ donde $N$ es la norma mapa de $\Bbb Q(\sqrt{n^2-4})$ a $\Bbb Q$. Por Hilbert 90, la norma $1$ elementos de la cuadrática campo son $$\frac{u+v\sqrt{n^2-4}}{u-v\sqrt{n^2-4}} =\frac{(u+v\sqrt{n^2-4})^2}{u^2-(n^2-4)v^2}$$ racional $u$, $v$ no ambos cero. Ahora podemos rectificar en general las fórmulas para$x$$y$, que será el equivalente a steven gregory

Answer 3

En general, esta ecuación tiene un montón de fórmulas para la solución. Porque es simétrica.

Escribe la fórmula alguien puede venir en práctico. la ecuación:

$$Y^2+aXY+X^2=Z^2$$

Tiene una solución:

$$X=as^2-2ps$$

$$Y=p^2-s^2$$

$$Z=p^2-aps+s^2$$

más:

$$X=(4a+3a^2)s^2-2(2+a)ps-p^2$$

$$Y=(a^3-8a-8)s^2+2(a^2-2)ps+ap^2$$

$$Z=(2a^3+a^2-8a-8)s^2+2(a^2-2)ps-p^2$$

más:

$$X=(a+4)p^2-2ps$$

$$Y=3p^2-4ps+s^2$$

$$Z=(2a+5)p^2-(a+4)ps+s^2$$

más:

$$X=8s^2-4ps$$

$$Y=p^2-(4-2a)ps+a(a-4)s^2$$

$$Z=-p^2+4ps+(a^2-8)s^2$$

En la ecuación: $$X^2+aXY+bY^2=Z^2$$, siempre hay una solución y uno de ellos es bastante simple.

$$X=s^2-bp^2$$

$$Y=ap^2+2ps$$

$$Z=bp^2+aps+s^2$$

$p,s$ - enteros nos pidió.