El espacio delimitado funciones continuas no son separables

Question

Deje $C_b(\mathbb{R})$ ser el espacio de todos los delimitada funciones continuas en $\mathbb{R}$, normativa con $$\|f\| = \sup_{x\in \mathbb{R}} \|f(x)\|$$ Mostrar que el espacio de $C_b(\mathbb{R})$ es no separable.

Un espacio es separable si existe una densa contables subconjunto. Cómo puedo demostrar que algo no es separable? sería importa si nos fijamos en $C_b([0,1])$ lugar?

Answer 1

Considerar el subconjunto $K$ $C_b(\Bbb R)$ compuesto de funciones que son o $0$ o $1$ en los enteros. Hay un sinnúmero de subconjunto $S$ $K$ tal forma que: $$\tag{1}\Vert x-y\Vert\ge 1,\ \ \text{whenever}\ \ x,y\in S\ \text{with}\ x\ne y.$$

Ahora, dada una contables subconjunto $B$ $C_b(\Bbb R)$ se desprende de lo $(1)$ que hay un $s\in S$ que es la distancia de, al menos, $1/2$ de cada elemento de $B$. A continuación, $B$ no es denso en $C_b(\Bbb R)$.

Answer 2

Considerar los mapas $f_t(x):=\exp(itx)$. Tenemos, si $t_1\neq t_2$, que \begin{align*} |f_{t_1}(x)-f_{t_2}(x)|&=|\exp(it_1x)-\exp(it_2x)|\\ &=\frac 12\left|\exp\left(i\frac{t_1+t_2}2x\right)\right|\cdot \left|\exp\left(i\frac{t_1-t_2}2x\right)-\exp\left(-i\frac{t_1-t_2}2x\right)\right|\\ &=\sin\left(\frac{t_1-t_2}2x\right), \end{align*} lo que da, al $t_1\neq t_2$, $$\lVert f_{t_1}-f_{t_2}\rVert_\infty=1.$$

Answer 3

Aquí es también una manera, en caso que usted sabe que $\ell^{\infty}$ es no separable, el conjunto de secuencias delimitadas con sup-norma que es.

Definir $\Lambda:C_{b}(\mathbb{R})\to\ell^{\infty}$$f\mapsto (f(n))_{n=1}^{\infty}$. Por la elección de cualquiera $(x_{n})_{n=1}^{\infty}\in \ell^{\infty}$ podemos definir un continuo delimitado función de $f\in C_{b}(\mathbb{R})$ mediante el establecimiento $f(n)=x_{n}$ todos los $n\in\mathbb{N}$ y de la ampliación a $\mathbb{R}$ mediante la conexión de la imagepoints de cada número natural linealmente. Podemos tomar la $f(x)= x_{1}$ todos los $x<1$, por ejemplo. Desde $f\mapsto (x_{n})_{n=1}^{\infty}$, $\Lambda$ es un surjection. También es continua, porque \begin{equation*} \|\Lambda(f)-\Lambda(g)\|_{\infty}=\sup_{n\in\mathbb{N}}|f(n)-g(n)|\leq \sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x)-g(x)|=\|f-g\|_{\infty} \end{ecuación*} para todos los $f,g\in C_{b}(\mathbb{R})$.

Ahora si $C_{b}(\mathbb{R})$ era separable, tendría una contables y densa subconjunto $\mathscr{D}$. Ya que la imagen de un subconjunto denso en continuo surjection es densa, tenemos que $\Lambda(\mathscr{D})$ es una contables, denso subconjunto de $\ell^{\infty}$. Esto implicaría que $\ell^{\infty}$ es separable, lo cual es una contradicción.