Colgar un cuadro en la pared utilizando dos clavos de tal manera que al quitar cualquier clavo el cuadro se caiga

Question

Un amigo me ha dicho que es posible colgar un cuadro en la pared con una cuerda utilizando dos clavos, de manera que si se quita uno de los dos clavos se caen tanto la cuerda como el cuadro. Mi amigo también me ha dicho que tengo que conocer el concepto de grupos fundamentales para entender la solución. El problema es que no lo conozco. ¿Realmente no hay solución a este sencillo problema que no requiera conocer los grupos fundamentales?

Answer 1

Puede ver una solución en la Figura 1 de Rompecabezas para colgar imágenes de Demaine et al. No hace falta nada avanzado para entender esa solución específica. Es la generalización a más y más clavos lo que parece necesitar algo de matemáticas sofisticadas.

Aquí está la solución de dos uñas de Demaine et al. (no pase el ratón por encima si quiere pensar en ello primero):

Un extracto de una explicación que se encuentra en la sección 3.2:

Definimos $2n$ símbolos: $x_1, x_1^{-1}, \dots, x_n, x_n^{-1}$ .
Cada $x_i$ representa envolver la cuerda alrededor [¿pasando por encima de? $i$ de la uña en el sentido de las agujas del reloj, y cada $x_i^{-1}$ representa envolver la cuerda alrededor del $i$ la uña en sentido contrario a las agujas del reloj. Ahora se puede representar un tejido de la cuerda mediante una secuencia de estos símbolos. Por ejemplo, la solución del rompecabezas de dos clavos que se muestra [en la figura anterior] puede escribirse $x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1}$ .
...
En esta representación, la eliminación del $i$ La uña corresponde a la eliminación de todas las ocurrencias de $x_i$ y $x_i^{-1}$ en la secuencia. Ahora podemos ver por qué [la figura] se desenreda cuando quitamos cualquiera de los clavos. Por ejemplo, al quitar el primer clavo sólo queda $x_2x_2^{-1}$ Es decir, girar en el sentido de las agujas del reloj alrededor del segundo clavo y deshacerlo inmediatamente girando en el sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor del mismo clavo. En general, $x_i$ y $x_i^{-1}$ se cancelan, por lo que todas las ocurrencias de $x_ix_i^{-1}$ y $x_i^{-1}x_i$ se puede dejar caer. (El grupo libre especifica que estas cancelaciones son todo las cancelaciones que se pueden hacer). Así, el tejido original $x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1}$ está vinculado de forma no trivial con los clavos porque nada se simplifica; pero si quitamos cualquiera de los clavos, todo se anula y nos quedamos con la secuencia vacía, que representa el tejido trivial que no está vinculado con los clavos (es decir, el cuadro se cae).

Answer 2

Coloca un clavo en la pared y otro en el marco de la foto. Enrolla la cuerda alrededor de ellos. Si quitas alguno de los clavos, el cuadro se caerá :)

Answer 3

¿Qué tal si pones dos clavos en la pared para que el cuadro se apoye sobre los clavos y no haya ningún clavo en medio? ¿No se puede hacer eso?

Answer 4

La solución se puede entender sin referirse directamente al grupo fundamental (pero conocer los grupos fundamentales facilita mucho la generalización a más clavos).

Considere la posibilidad de enrollar la cuerda una vez alrededor de un clavo, una vez alrededor del otro y luego lo mismo, pero enrollándola en la otra dirección (pero siempre con los clavos en el mismo orden).

Answer 5

Suponiendo que el dibujo es un cuadrado, gíralo 45 grados para que ahora tenga la forma de un "diamante" (rombo). Ahora coloca un clavo justo debajo y un poco a la derecha de la esquina izquierda, y otro clavo justo debajo y un poco a la izquierda de la esquina derecha.